3)Неполный ряд Фурье

Опр: Функция определенная наявляется периодической с периодомеслигде точканепрерывности. При чем не является наименьшим числом обладает своиством. Из определения следует что,.

Будем считать что определено наи удовлетворяет условию Дирихле.Пример (рис.) Пустьпериодическая с периодоми удовлетворяет условию Дирихле.,т.е четная функция.; т.кто,.

Рассмотрим Следовательно есличетная функция то,

2) нечетная функция т.е. Рассмотрим,т.кто,Рассмотрим, т.кто. Для нечетной функции ряд Фурье имеет вид: .

Ряд Фурье по ортогональной системе функций.

Изменение сегмента разложения.

Лемма: Пусть периодическая с периодомтогда.. Док-во:.

Рассмотрим; .

Пусть имеет периоди задан натогда, где,;; т.к по доказанной Лемме,и функцииобразуют ортогональную систему уравнении на. Пустьзадана наи являетсяпериод. Вообще говоря

Замена задана на интервале,где,,

Обратная замена: где,.

Разложение на произвольном отрезке получено.

Рассмотрим и;удовлетворяет условию Дирихле.

1. Четное продолжение ,т.е рассмотримпри;определена на;;гдеа.

2. Нечетное продолжение ,т.е рассмотримпри;определена на;;;.

Рассмотрим функцию: ;; Выполним нечетное продолжение;;;;

на,;

на,

V 1)Криволинейные интегралы.

Задача о нахождении массы кривой. Рассмотрим простую кусочно-гладкую кривую на пл-ти (кривая не замкнута). На кривой задана функция(рис.). Рассмотрим произвольное разбиение кривойточками, где,. На дугепроизвольно выбирается точкаи составляется суммагде- длина дуги. Рассмотримгде. Если предел существует и конечен то.

Криволинейный интеграл 1-го типа: не зависит от пути, т.е. Пусть криваязадана параметрически.непрерывны при.; при на кривой- получается задача о нахождении длины дуги кривой.

Пусть кривая задается явным уравнением , в предположении что непрерывны на.

Криволинейный интеграл 2-го типа: Рассмотрим простую кусочно-гладкую прямую на плоскости . На кривой задается ф-ция 2-х переменных(рис. )

Рассмотрим произвольное разбиение кривойс точками, от(,). На дугевыбирается произвольнаяи составляемгде. Если существует и конечен пределгдеи он не зависит от способа разбиенияи выборато тогдаи есть линейный интеграл 2-го типа.

Очевидно что данный интеграл зависит от пути . Пусть на кривойзаданы 2 ф-цииитогда аналогично строится интеграл. Тогда криволинейный интеграл 2-го типа и. В случае пространственной кривой….

2)Двойные интегралы.

Рассмотрим задачу о нахождении объема цилиндрического бруса. (рис. )

Рассмотрим произвольное разбиениекусочно-гладкой кривой. Впроизвольно выбирается точкаи составляетсягдекоордината точки аэто площадь. Рассмотримгде. Если существует и конечен предел то.

Рассмотрим площадь сечения (рис.) при ;тогда;;.

…. (примеры.)

Вычисление площади с помощью криволинейного интеграла 2-го типа.

Рассмотрим простой замкнутый контур .при(рис.)

Рисунки 1 положительный обход замкнутого контура (против часовой стрелки) 2 отрицательный обход (по часовой стрелке).

Рассмотрим (рис. на графике) ;,;но, а, т.кто.

Рассмотрим (рис.) Аналогично рассуждаем, кроме . Рассмотрим произвольную областьограниченную гладким контуром. Областьможно разбить на конечное число криволинейных трапеции 1-го вида и (независимо) на конечное число криволинейных трапеции 2-го вида..