1)Функциональные последовательности и ряды.

Опр: Пусть даны функции определенные натогдафункциональный ряд.

Опр: Пусть функциональный ряд называется сходящимся на ,;(числовой ряд) сходитсяназываютобластью сходимости.

Рассмотрим и набор функцииопределенных на. Говорят что на задана функциональная последовательность .

Рассмотрим ,;,;. Еслисуществует то говорят чтопоследовательность сходится в точке .

Рассмотрим множество такое чтотогда говорят чтообласть сходимости функциональной последовательности называют предельной функцией.

2)Опр: Пусть последовательность функции сходится нак. Даннаясходимость называется равномерной, если ,.,(рис. Рис. )

Опр: Пусть последовательность равномерно сходится кнаЕсли,.

Опр: функциональный ряд называют равномерно сходящимся кнаеслигде.

Теорема: Признак Вейерштрасса о равномерной сходимости рядов: Пусть дан функциональный ряд где всеопределены на,;где. Числовой рядсходитсяфункциональный рядравномерно сходится на . Док-во: По условию числовой рядсходится. Рассмотримдля выбранного,,.Т.кто. Рассмотрим; тогда. Данное неравенство справедливоряд сходится равномерно.

Теорема (о равномерно сходящихся рядах).

Пусть дан ряд всеопределены и не прерывны на. Ряд равномерно сходится нак. Тогда функциянепрерывна на.

3)Теорема: (о почленном интегрировании рядов) Пусть дан ряд всеопределены и не прерывны на. Ряд равномерно сходится нак. Тогдагде, тогда возможно почленное интегрирование исходного функционального ряда.

Теорема: (О почленном дифференцировании рядов) Пусть дан ряд всеопределены и не прерывны на. Ряд сходится накРядравномерно сходится к. Тогдасходится равномерно ка.

III

Степенные ряды

1)Опр: Функциональный ряд вида: называется стенным рядом, где.

Опр: степенной ряд называют абсолютно сходящимся на если сходится ряд.

Теорема Абеля.

1)Пусть степенной ряд сходится при тогдастепенной рядсходится абсолютно.

2)Пусть степенной ряд сходится при тогда данный степенной ряд расходится.

Док-во : 1)по условию степенной ряд сходится прит.е сходится числовой ряд, по необходимому условию сходимости. Рассмотрим,т.е;. Ряд-сходится (бесконечно убывающая геометрическая прогрессия) По теореме сравнения абсолютно сходится

2) Пусть степенной ряд сходится при . Рассмотрими предположим что рядсходитсяпо доказательству части 1 данной теоремы сходится абсолютноа это противоречие.

Теорема: Пусть степенной ряд сходится при тогда он сходится равномерно.

Док-во: Рассмотрим по условиюпо теореме Вейерштрасса степенной ряд сходится равномерно.

Опр: Интервалом сходимости степенного ряда называется интервалгдетакой что в каждой точкеряд абсолютно сходится а в точкахтаких чторяд расходится, Числоназывается радиусом сходимости числового ряда.

Радиус сходимости степенного ряда можно найти по формуле

2)Теорема: на любом отрезке принадлежащем интервалу сходимости степенного ряда можно дифференцировать и интегрировать почленно причем область сходимости не меняется.

Пусть где. Функциябесконечное число раз дифференцируема

Рассмотрим ряд где. Данный рядназывается рядом Тейлора.

Ряды Маклорена для элементарных функции.

1. ;,.;сходится.

2. ,;,,,,;.Область сходимости .

3. ,,Область сходимости.

4. ,;,,,,Область сходимости

5. ,;,, .

IV

1)Опр: система векторов называетсяортогональной если ;.

Опр: система векторов называется ортонормированной если и.

Рассмотрим на систему функции 1, ,

Утв: данная система функции на ортогональна.

Док-во: ;;;

;

;

;

Утв: Система функции наортонормированной не является.

Док-во: .

;

.

Следствие: Система функцииявляется ортонормированной на .где,причем .

Рассмотрим: на.или .

2)Опр: Функцияназывается кусочно-монотонной наЕслито на найденном отрезкемонотонна.

Теорема Дирихле: Пусть кусочно-монотонна , кусочно-непрерывна и ограничена натогда напредставимарядом Фурье. , где;;

. Который в точках непрерывности сходится к значению функции а в точках разрыва сходится к полу сумме предельных значениисправа и слева от точки разрыва. В точкахряд сходится к значению(Примеры и графики).