I

Числовые ряды.

1) Опр: , гдепри, тогданазывают числовым рядом. - общий член.К-аячастичная сумма числового ряда. Остатком после К-ого члена ряда называется . Пример:,;.

Опр: Числовой ряд называется сходящимсяесли существует конечный иначе расходящийся. Пример: 1) ,,- расходящийся ряд.

Опр: Если конечныйто эта величинаназывается суммой числового ряда.

2)Свойства рядов:

Опр: Рассмотрим и;.

Рассмотри и,.

Теорема: пусть даны сходящиеся ряды. и;тогда- сходящийся

Док-во: по определению ; . По условию конечный предел,.

Теорема: измерения конечного числа членов ряда, не влияет на его сходимость.

Теорема: (необходимое условие сходимости) Если числовой ряд сходится то а не наоборот. Док-во: по условиюконечен и равен. Очевидно чтоно.

Пример: ,ряд расходтся.

3)Числовые ряды с положительными членами.

Теорема: (признак сравнения) Пусть даны числовые ряды. ,гдеи,а так же. Еслисходящийся то, тоже сходящийся. Еслирасходящийся торасходящийся.

Док-во: 1. Пусть - сходится. Рассмотрим. Т.к рядсходится токонечный.

2 Пусть расходится т.ет.кто.

Теорема: Рассмотрим игдеи,. Пусть,гдеи-. В этом случае ряды сходятся или расходятся одновременно.

Док-во: 1) Пусть ряд -сходится По условию,по теореме сравнения сходитсясходится.

2) Пусть рядрасходится По условиюи по теореме сравнениярасходитсярасходится.

Следствие: Пусть даны два ряда с положительными членамии. еслито ряды членов либо расходятся либо сходятся одновременно. Пример:ряд сходится т.ксходится и.

Теорема: (интегральный признак Коши) Пусть дан числовой ряд где,,, Рассмотрим непрерывную неубывающую функцию определенную при,,сходится тогда и только тогда когда сходится. Док-во: Рассмотрим числовой рядОчевидносходимость рядаэквивалентно сходимости. Из монотонностии условия на члены рядапри;;. По теореме сравнения из сходимостисходимость ряда,т.е сходится несобственный интеграл.

Пусть сходится сходится рядпо теореме сравнения сходитсясходится ряд.

Опр: -гармонически ряд. Пример: ;расходится.

Теорема: (Признак Даламбера) Пусть дан числовой ряд где,тогда если начиная с некоторого номера № выполнено неравенство., то ряд сходится. Если --=--то ряд расходится.

Док-во: Пусть ,,т.е,. Т.к рядсходится то по признаку сравнения сходится ряд.

Пусть ,следовательно ряд сходится.

Следствие: Пусть дан ,Еслито ряд сходится Еслито расходится.

Док-во: Пусть Рассмотримкоторое удовлетворяет неравенствут.е. Из определения предела следует,,ряд сходится по доказанной теореме.

Аналогично для .

Теорема(Радикальный Признак Коши.)

Пусть дан числовой ряд с положительным членом ,,. Если начинать в некоторого номера выполненного неравенства,то ряд сходится если --=--то расходится. Док-во: Пусть выполнено неравенство-сходится по признаку сравнения. ,т.кбесконечно убывающая геометрическая прогрессия.

Пусть --=---расходится по правилу сравнения т.к рядрасходится.

Следствие: Пусть дан ряд где,. Еслито ряд сходится Еслито расходится.

Док-во: Пусть Рассмотрим,т.е.по определению предела последовательности Рассмотримкоторое удовлетворяет неравенствуиз чего следует что ряд сходится по признаку Коши.

4)Опр: Числовой ряд называется знакопеременным если его члены не обладают свойством постоянства знака.

Опр: Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящийся если сходится ряд составленный из абсолютных величин членов ряда.

Опр: Ряд называетсяусловно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится. То есть, если существует (и не бесконечен), но.

Теорема: Пусть знакопеременный ряд сходимость абсолютнаяряд сходится. Док-во: По условию рядсходится следовательно сходящийся ряд;,по признаку сравнения сходится рядсходится ряд исходный.т,к.

Теорема Римана: Пусть ряд сходится условно ипроизвольное вещественное число тогдатакая перестановка членов ряда что- сумма ряда.

Опр: знакопеременный ряд является знакочередующимся если любые 2 соседних члена ряда имеют разные знаки.

Признак Лейбница: Пусть дан знакочередующийся ряд ;и- ряд сходится.

Док-во: Рассмотрим ряд ;. Из Условия ,,…,;, т.еограниченная последовательность. Рассмотрим- монотонно возрастающая. По теореме Вейерштрасса о пределе монотонной ограниченной последовательности:. Рассмотрим. По условиюпо доказанномуисходный ряд сходится и доказан признак Лейбница.

Следствие: Пусть дан знакочередующийся ряд удовлетворяющий признаку Лейбница. Справедлива оценка для остатка данного ряда .

Док-во: , т.е остаток ряда удовлетворяющий признаку Лейбница. Из док-ва признака Лейбница.

II