Алгоритм составления двойственных задач

1. Приводим все неравенства системы ограничений исходной задачи к одному символу (причем в задаче на минимум к «», а в задаче на максимум к «».

2. Составляем расширенную матрицу , в которую включаем матрицу, столбец свободных членов и строку переменных коэффициентов целевой функции.

3. Находим

4. Формулируем двойственную задачу на основе полученной матрицы и условии неотрицательности переменных.

Контрольное задание №3.

Постройте задачи, двойственные к задачам контрольного задания №2.

Тема 4. Динамическое программирование

Динамическое программирование- это метод оптимизации, приспосо6ленный к операциям, в которых процесс принятия решений может быть разбит на этапы (шаги). Такие операции называются многошаговыми. Динамическое программирование дает возможность принять ряд последовательных решений (многошаговый процесс), обеспечивающих оптимальность развития процесса в целом.

Рассмотрим управляемый процесс. Пусть управление можно разбить на шагов, т.е. решения принимаются последовательно на каждом шаге, а управление, переводящее системуиз состоянияв состояниепредставляет собой совокупность пошаговых управлений.

Пусть - управление на-ом шаге и удовлетворяет некоторым ограничениям и в этом смысле называется допустимым, где- число, точка, функция, качественный признак.- управление, переводящее системуиз состоянияв состояние.- состояние системы после-го шага управления.- целевая функция, показатель эффективности рассматриваемой управляемой операции. Целевая функция зависит от начального состояния системы и управленияХ. Предположим:

1. Состояние зависит только от предыдущего состояния и управления на предыдущем шаге и не зависит от предшествующих состояний и управлений. Это требование называется «отсутствие последствий»:- уравнение состояний.

2. Целевая функция является аддитивной от показателей эффективности на каждом шаге. Обозначим показатель эффективности- го шаге через:Тогда

Задача динамического программирования (пошаговой оптимизации) формулируется следующим образом: определить такое допустимое управление Х, переводящее системуиз состоянияв состояниепри котором целевая функция принимает наибольшее (наименьшее) значение.

Экономические задачи, которые наиболее эффективно решаются на основе динамического программирования, должны удовлетворять следующим условиям.

1. Задача оптимизации интерпретируется как -шаговый процесс управления.

2. Целевая функция равна сумме целевых функций на каждом шаге.

3. Выбор управления на ом шаге зависит от состояния системы к этому шагу, не влияет на предшествующие шаги (отсутствие обратной связи).

4. Состояние системы послего шага зависит только от предшествующего состояния системы и управления (нет последствий).

5. На каждом шаге управление зависит от конечного числа управляющих переменных, а состояние от конечного числа параметров.

В соответствии с указанными условиями задача динамического программирования принимает следующий вид:

.

Принцип оптимальности Беллманасостоит в следующем: каково бы ни было состояние системыв результате какого либо числа шагов, на ближайшем шаге надо выбирать управление так, чтобы оно в совокупности с оптимальными управлениями на всех последующих шагах приводило к оптимальному выигрышу на всех оставшихся шагах, включая данный.

Функциональные уравнения Беллмана - это математическая формулировка принципа оптимальности Беллмана. Предположим, что ищется максимум целевой функции.

На -ом шаге: т.е. выигрыш на- ом шаге зависит только от управления на этом шаге. На- ом шаге:, т.е. на- ом шаге надо так подобрать управление, чтобы сумма выигрышей на- ом шагеи на- ом шагебыла максимальна и т.д. На- ом шаге

, т.е. на- ом шаге надо так подобрать управление, чтобы сумма выигрышей на- ом шаге и на последующих шагахбыла максимальной.