- •Задачи для зачёта по эконометрике Задача 1 Парная регрессия и корреляция
- •Решение
- •Варианты индивидуальных заданий
- •Вариант 1
- •Решение
- •Варианты индивидуальных заданий
- •Вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 5
- •Вариант 6
- •Вариант 7
- •Вариант 8
- •Вариант 9
- •Вариант 10
- •Задача 3 Нелинейная регрессия
- •Варианты индивидуальных заданий
- •Задания для самостоятельного решения
- •Задача 4 Временные ряды
- •Варианты индивидуальных заданий
Вариант 9
Номер предприятия |
Номер предприятия | ||||||
1 |
7 |
3,9 |
12 |
11 |
11 |
7,1 |
22 |
2 |
7 |
4,2 |
13 |
12 |
12 |
7,5 |
25 |
3 |
7 |
4,3 |
15 |
13 |
13 |
7,8 |
26 |
4 |
7 |
4,4 |
17 |
14 |
12 |
7,9 |
27 |
5 |
8 |
4,6 |
18 |
15 |
13 |
8,1 |
30 |
6 |
8 |
4,8 |
19 |
16 |
13 |
8,4 |
31 |
7 |
9 |
5,3 |
19 |
17 |
13 |
8,6 |
32 |
8 |
9 |
5,7 |
20 |
18 |
14 |
8,8 |
32 |
9 |
10 |
6,9 |
21 |
19 |
14 |
9,6 |
34 |
10 |
10 |
6,8 |
21 |
20 |
14 |
9,9 |
36 |
Вариант 10
Номер предприятия |
Номер предприятия | ||||||
1 |
7 |
3,6 |
12 |
11 |
10 |
7,2 |
23 |
2 |
7 |
4,1 |
14 |
12 |
11 |
7,6 |
25 |
3 |
7 |
4,3 |
16 |
13 |
12 |
7,8 |
26 |
4 |
7 |
4,4 |
17 |
14 |
11 |
7,9 |
28 |
5 |
7 |
4,5 |
18 |
15 |
12 |
8,2 |
30 |
6 |
8 |
4,8 |
19 |
16 |
12 |
8,4 |
31 |
7 |
8 |
5,3 |
20 |
17 |
12 |
8,6 |
32 |
8 |
8 |
5,6 |
20 |
18 |
13 |
8,8 |
32 |
9 |
9 |
6,7 |
21 |
19 |
13 |
9,2 |
33 |
10 |
10 |
6,9 |
22 |
20 |
14 |
9,6 |
34 |
Задача 3 Нелинейная регрессия
Имеются данные по 10 хозяйствам
Урожайность, ц/га, y |
15 |
18 |
17 |
22 |
25 |
20 |
24 |
19 |
23 |
27 |
Внесено удобрений, кг/га, x |
2,1 |
3,6 |
3,5 |
5,0 |
6,5 |
4,2 |
6,3 |
4,0 |
6,0 |
7,5 |
Требуется:
Рассчитать параметры степенной и экспоненциальной парных регрессий.
Оценить тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.
Рассчитать средние коэффициенты эластичности и дать сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.
С помощью F- критерия оценить статистическую надежность результатов моделирования.
Рассчитать линейный коэффициент корреляции и детерминации, сделать вывод о целесообразности замены нелинейной зависимости линейной.
На основании пунктов 3,4,5 выбрать наилучшее уравнение регрессии.
Решение.
1. Регрессия в виде степеннойфункции имеет вид.
Для оценки параметров линеаризуем модель путем логарифмирования:
,
Для расчетов составим таблицу:
Номер |
x |
y | ||||||
1 |
2,1 |
15 |
0,7419 |
2,7081 |
2,0092 |
0,5505 |
4,41 |
5,6869 |
2 |
3,6 |
18 |
1,2809 |
2,8904 |
3,7024 |
1,6408 |
12,96 |
10,4053 |
3 |
3,5 |
17 |
1,2528 |
2,8332 |
3,5493 |
1,5694 |
12,25 |
9,9162 |
4 |
5,0 |
22 |
1,6094 |
3,0910 |
4,9748 |
2,5903 |
25 |
15,4552 |
5 |
6,5 |
25 |
1,8718 |
3,2189 |
6,0251 |
3,5036 |
42,25 |
20,9227 |
6 |
4,2 |
20 |
1,4351 |
2,9957 |
4,2991 |
2,0595 |
17,64 |
12,5821 |
7 |
6,3 |
24 |
1,8405 |
3,1781 |
5,8494 |
3,3876 |
39,69 |
20,0217 |
8 |
4,0 |
19 |
1,3863 |
2,9444 |
4,0819 |
1,9218 |
16 |
11,7778 |
9 |
6,0 |
23 |
1,7918 |
3,1355 |
5,6181 |
3,2104 |
36 |
18,8130 |
10 |
7,5 |
27 |
2,0149 |
3,2958 |
6,6408 |
4,0598 |
56,25 |
24,7188 |
48,7 |
210 |
15,2255 |
30,2911 |
46,7501 |
24,4938 |
262,45 |
150,2997 | |
Среднее значение |
4,87 |
21 |
1,5225 |
3,0291 |
– |
– |
26,245 |
– |
Таким образом, ,.
Уравнение регрессии .
Выполнив потенцирование, получим .
Параметр является коэффициентом эластичности и означает, что с ростом удобрений на 1% урожайность с гектара повышается на 0,48%.
Регрессия в виде экспоненциальнойфункции имеет вид .
Для оценки параметров линеаризуем модель путем логарифмирования:
,
Расчетные данные приведены в таблице выше. Имеем:
,.
Уравнение регрессии .
Выполнив потенцирование, получим
2,3. Для расчета показателей корреляции и детерминации необходимо рассчитать теоретические значения по построенным моделям. Для этого подставим значения xв уравненияи, а результаты пропотенцируем.
Расчеты приведем в таблице. Индексы корреляции и детерминации будем рассчитывать по формулам ,.
Номер |
y |
Степенная функция |
Экспоненциальная функция | |||||
1 |
15 |
36 |
2,6541 |
14,2126 |
0,6200 |
2,7244 |
15,2473 |
0,0611 |
2 |
18 |
9 |
2,9131 |
18,4131 |
0,1706 |
2,8894 |
17,9825 |
0,0003 |
3 |
17 |
16 |
2,8995 |
18,1656 |
1,3585 |
2,8784 |
17,7858 |
0,6175 |
4 |
22 |
1 |
3,0709 |
21,5607 |
0,1930 |
3,0434 |
20,9764 |
1,0477 |
5 |
25 |
16 |
3,1969 |
24,4569 |
0,2949 |
3,2084 |
24,7395 |
0,0679 |
6 |
20 |
1 |
2,9871 |
19,8284 |
0,0295 |
2,9554 |
19,2094 |
0,6250 |
7 |
24 |
9 |
3,1819 |
24,0925 |
0,0086 |
3,1864 |
24,2011 |
0,0405 |
8 |
19 |
4 |
2,9637 |
19,3690 |
0,1362 |
2,9334 |
18,7914 |
0,0435 |
9 |
23 |
4 |
3,1585 |
23,5344 |
0,2855 |
3,1534 |
23,4155 |
0,1727 |
10 |
27 |
36 |
3,2657 |
26,1974 |
0,6442 |
3,3184 |
27,6161 |
0,3796 |
210 |
132 |
– |
– |
3,7410 |
– |
– |
3,0558 |
Для степеннойфункции индекс детерминации составит, а индекс корреляции. Таким образом, связь между рассматриваемыми признаками достаточно тесная. Величина индекса детерминации говорит о том, что 97 % изменчивости урожайности объясняется данным уравнением.
F-критерий Фишера составит :
.
Это значение превышает табличное значение на 5% уровне значимости , следовательно найденное уравнение регрессиистатистически значимо.
Для экспоненциальнойфункции индекс детерминации составит, индекс корреляции. Связь также является достаточно тесной, 98% изменчивости урожайности объясняется данным уравнением.
F-критерий Фишера составит :
.
Это значение превышает табличное значение на 5% уровне значимости , следовательно найденное уравнение регрессиистатистически значимо.
4.Индексы корреляции и детерминации рассчитанных моделей различаются незначительно. Возможно, является целесообразным заменить их более простой линейной моделью. Для этого рассчитаем парные линейные коэффициенты корреляции и детерминации по формулам:
,
где .
,,,
.
В случае экспоненциальной модели разность , следовательно, вместо экспоненциальной модели можно использовать линейную.
В случае степенной модели , что говорит о том, что применение более сложной формы зависимости только ухудшило качество модели.
5. Исходя из вышесказанного, делаем вывод о том, что оптимальной формой зависимости будет линейная, . Таким образом, при увеличении количества удобрений на 1 кг/га урожайность возрастает на 2,297 ц/га.
Имеются данные по 10 хозяйствам