4.7. Реляционное исчисление.

В выражениях реляционной алгебры всегда явно задается порядок операций и порядок их выполнения, т.е. тесть реляционная алгебра является процедурной системой.

Исчисления являются декларативной системой, т.е. они задают только, каким должен быть результат вычислений, но не то каким образом проводить вычисления. Определение наиболее эффективного порядка вычисления определяется транслятором.

Реляционное исчисление имеет свои источники в исчислении предикатов. В контексте баз данных оно существует в двух формах: в форме предложенной Коддом(реляционного исчисления кортежей) и в форме предложенной Лакруа и Пиро (реляционного исчисления доменов).

В теории исчисления предикатов, под предикатом понимается истинная функция с аргументами. При подстановке аргументов вместо их значений функция становиться выражением называется суждением, которое может быть истинным или ложным. Обозначим предикат как ψ(t), где t- переменная, которая имеет область определения.

Множество всех значений переменной t , при которых суждение ψ(t) становиться истинным, можно записать следующим образом:

{t/ ψ(t)}

4.7.1.Реляционное исчисление кортежей.

Это исчисление основано на переменных t, обозначающих кортежи некоторой фиксированной длины и областью их определения является заданные отношения(т.е. его кортежи). ψ(t) – называется формулой, которая строится по специальным правилам.

Пусть дано отношение R(A1,A2,A3,A4)

i j

А1	А2	А3	А4
t	Si
			Uj

S- кортежи

U- кортежи

S и U – кортежи.

i и j – домены.

Si – элемент кортежа S с номером i.

Uj – элемент кортежа U с номером j.

Формула отношения ψ(t) или предикат строится из атомов трех типов.

Атом первого типа:

R(t) – кортежи отношения R.

Пусть Ѳ:{<,>,=,≥,≤,≠}- операторы сравнения.

Атом второго типа имеет вид:

Si Ѳ Uj – сравнение элементов кортежей между собой (где Ѳ – оператор сравнения.)

Атом третьего типа имеет вид:

ѲSiѲa – сравнение элементов кортежа с постоянной величиной.

Выражение: {t/ ψ(t)}- обозначает множество всех кортежей t, при которых формула ψ(t) становиться истиной.

В формулах используются: логические операторы(и, или, не), кванторы (V- для всех, Ǝ - существует).

Правильно построена формула.

(Well formed formula)

Аналогично тому, как те две возможные последовательности букв алфавита образуют правильно построение слова, так и в реляционном исчислении не каждая последовательность формул является допустимой. Допустимыми формулами могут быть только недвусмысленные и небессмысленные последовательности.

ППФ(wff) в исчислении предикатов определяется следующими правилами:

1. Каждый атом - это формула.

Если Р является n-арной формулой (предикатом сn аргументами), аt₁,t₂,….t_n – это константы или переменные, то выражениеP(t₁,t₂,….t_n) является правильно построенной формулой.

2. Если t₁иt₂ являются константами или переменными из одного домена, а Ѳ представляет собой один из операторов сравнения (<, >, =, ≤, ≥) то выражениеt₁Ѳ t₂является ППФ.

3. Если выражение F₁иF₂является формулами, то их конъюнкцияF₁ ΛF₂(и),F₁ v F₂ (или), и отрицание ~F₁ (не), тоже являются формулами.

4. Если выражение F₁является формулой со свободной переменнойx, то выражение (существует)Ǝ F(x) и (для всех) V F(x), так же является формулой.

5. Формулы при необходимости могут заключаться в скобки. Используется следующий порядок старшинства:

1. Операторы сравнения

2. Кванторы(V- для всех, Ǝ - существует)

3. Логические операторы(и, не, или)

Для операций реляционной алгебры можно указать выражения реляционной алгебры исчисления на переменных кортежах.

1.Операция объединения.

Реляционная алгебраR₁U R₂

Реляционное исчисление:

R₁U R₂={ t|tϵR₁(t) V tϵR₂(t)

Необходимо получить множество

всех кортежей t, которые принадлежат отношениямR₁илиR₂.