Дискретка учебник
.pdfαm = 1 αm = 0
αm · f(α1, . . . , αm−1, 0, αm+1, . . . , αn)
αm · f(α1, . . . , αm−1, 1, αm+1, . . . , αn) =
=1 · f(α1, . . . , αm−1, 0, αm+1, . . . , αn)
1 · f(α1, . . . , αm−1, 1, αm+1, . . . , αn) =
=0 · f(α1, . . . , αm−1, 0, αm+1, . . . , αn)
1 · f(α1, . . . , αm−1, 1, αm+1, . . . , αn) =
=f(α1, . . . , αm−1, 1, αm+1, . . . , αn) =
=f(α1, . . . , αm−1, αm, αm+1, . . . , αn).
При выводе мы использовали тождества 1·A = A, 0·A = 0 и A 0 = A. Итак, мы получили:
f(α1, α2, . . . αn) =
=αm · f(α1, . . . , αm−1, 0, αm+1, . . . , αn)
αm · f(α1, . . . , αm−1, 1, αm+1, . . . , αn) =
=f(α1, α2, . . . , αm−1, αm, αm+1, . . . , αn).
Так как αe - произвольный двоичный набор, равенство (3.1) выполняется для всех αe Bn, и, значит, является тождеством. Заметим, что xmm = 1 xm = σm. Тогда тождество (3.1) можно представить следующим образом:
f(x1, . . . , xm−1, xm, xm+1, . . . , xn) =
= xmm f(x1, . . . , xm−1, σm, xm+1, . . . , xn).
Аналогично доказываются две следующие теоремы.
Теорема |
3.2. О разложении функции по нескольким переменным |
||||||
Всякую функцию |
|
алгебры логики f(x1, x2, . . . , xn) при любом m |
|
||||
(1 6 m 6 n) можно представить в виде |
|||||||
f(x1, x2, . . . , xm−1, xm, xm+1, . . . , xn) = |
|||||||
= |
; |
;:::; m |
1 |
; m) |
m x11 x22 · · · xmm−−11 xmm f(σ1, σ2, . . . , σm−1, σm, |
||
( |
B |
||||||
1 |
2 |
− |
|
|
xm+1, . . . , xn),
31
Это равенство называется разложением функции по переменным x1, x2, . . . , xm.
Теорема 3.3. О разложении функции по всем переменным
f(x1, x2, . . . , xn) = σe Bn x11 x22 · · · xnn−−11 xnn f(σ1, σ2, . . . , σn−1, σn).
Если f(x1, x2, . . . xn) ̸≡0, то, удалив логические слагаемые, для
которых f(σ1, σ2, . . . σn) = 0, получим
f(x1, x2, . . . , xn) = σe Nf x11 x22 · · · xnn−−11 xnn .
Найденное разложение называется Совершенной Дизъюнктивной Нормальной Формой (СДНФ).
Замечание 3.4. В СДНФ входят элементарные конъюнкции, имеющие одинаковый ранг n, где n- количество переменных.
rсднф = |Nf | · n
Замечание 3.5. СДНФ имеет максимальный ранг среди всех ДНФ, реализующих данную функцию.
Теорема 3.4. Любая булева функция может быть представлена булевой формулой, являющейся суперпозицией дизъюнкции, конъюнкции и отрицания.
Доказательство. Рассмотрим два случая:
1.Пусть функция f(xe) ̸≡0. Тогда, согласно теореме 3.3, эту функцию можно представить в виде СДНФ, то есть формулы, содержащей элементарные функции , &, ¬.
2.Если функция является тождественным нулем (f(xe) ≡ 0), то её можно представить, например, в виде формулы f(xe) = x1 · x1, являющейся суперпозицией конъюнкции и отрицания.
32
3.2.1Алгоритм построения СДНФ булевой функции
1.Находим носитель функции Nf = {σe Bn|f(σe) = 1}, то есть те двоичные наборы σ,e на которых значение функции равно 1.
2.Для каждого набора σe из носителя выписываем элементарную конъюнкцию K = x11 x22 · · · xnn .
Если значение i- той координаты в наборе σe равно нулю (σi = 0), то переменная xi входит в элементарную конъюнкцию с отрицанием; если же σi = 1, то без отрицания.
3.Составляем СДНФ, соединяя полученные конъюнкции знаком дизъюнкции.
Пример 3.7. Найти СДНФ функции, заданной вектором значений fe= (01001100). Вычислить ранг полученной формулы.
Решение.
1.Так как длина вектора значений равна 8 = 23, то функция зависит от трех переменных. Представим функцию таблично.
x |
y |
z |
|
f |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
0 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
1 |
|
0 |
2.Подчеркнем все наборы носителя и сопоставим каждому набору σe Nf элементарную конъюнкцию.
33
x |
y |
z |
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
K1 = x0y0z1 = |
|
|
|
|
|
||
0 |
0 |
1 |
|
1 |
|
· |
|
· z |
||||
|
x |
y |
||||||||||
0 |
1 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
K2 = x1y0z1 = x · |
y |
· z |
|||||||||
1 |
0 |
1 |
|
1 |
||||||||
|
|
|||||||||||
|
K3 = x y z = x · y · z |
|||||||||||
1 |
1 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Выписываем СДНФ:
fсднф = K1 K2 K3 = x · y · z x · y · z x · y · z
и вычисляем её ранг rсднф = 9.
3.3Совершенная конъюнктивная нормальная форма
Теорема 3.5. Любая функция алгебры логики, отличная от тож-
дественной единицы (f(xe) ̸≡1), может быть представлена в виде
формулы f(x1, x2, . . . , xn) = e Nf (x11 x22 · · · xn−n−11 xnn ).
Такое представление двоичной функции называется Совершенной Конъюнктивной Нормальной Формой (СКНФ).
Доказательство. Рассмотрим функцию, f(xe) противоположную данной. Так как f(xe) ̸≡1, то f(xe) ̸≡0, и, значит, функцию f(xe) можно представить в виде СДНФ:
|
|
(x1, x2, . . . , xn) = σ N |
|
x11 x22 |
· · · xnn−−11 xnn = |
|
|
|
|
|
|||||
|
f |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
f |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
e |
|
|
|
|
= σ |
|
|
f x11 x22 · · · xnn−−11 xnn (3.2) |
|||||
|
|
|
|
|
|
N |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Логическое тождество |
A = B |
не |
изменится, если к обеим его частям |
||||||||||||
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
применить операцию отрицания, то есть, A = B |
|
A = B. |
34
Проинвертируем обе части равенства (3.2):
f(x , x , . . . , x ) = x 1 x 2 · · · x n−1 x n .
1 2 n σe Nf 1 2 n−1 n
К левой части тождества применим закон двойного отрицания
f(xe) = f(xe),
а к правойзаконы де Моргана (см. пункт 4 на стр. 19)
{
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x y |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
y |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x y = |
x |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
обобщив их на произвольное количество переменных |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1;:::;m xi |
|
|
|
;:::;m xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1;:::;m xi |
|
= i=1;:::;m |
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
f(x) = σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f ( |
|
|
|
|
· · · |
|
|
|
|
|
) |
|||||||||||||||||||
|
x11 x22 · · · xnn−−11 xnn |
|
|
|
|
xnn−−11 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
f |
= |
σ |
|
|
|
x11 |
x22 |
xnn |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
N |
|
N |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Так |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
e как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= x 1 = (x σ 1) 1 = x (σ 1) 1 = x |
|
1 = x |
|
, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
σ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
окончательно получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
σ Nf (x |
|
|
|
|
|
−n−11 x |
|
n ). |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
f(x) = |
1 |
1 x |
2 |
2 · · · x |
n |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
e |
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание 3.6. rсднф+rскнф = n·2n, где n- количество переменных.
35
3.3.1Алгоритм построения СКНФ булевой функции
1. Находим |
дополнение |
к |
носителю |
функции |
|||||
|
|
|
|
e |
e |
0}, то |
есть те двоичные |
наборы |
e |
|
на |
|
|||||||
|
Nf |
= |
{σ |
Bn|f(σ) = |
σ, |
которых значение функции равно 0.
2.Для каждого набора σe из дополнения к носителю выписываем элементарную дизъюнкцию D = x11 x22 · · · xnn .
Если значение i- той координаты в наборе σe равно единице (σi = 1), то переменная xi входит в элементарную конъюнкцию с отрицанием; если же σi = 0, то без отрицания.
3.Составляем СКНФ, соединяя полученные дизъюнкции знаком конъюнкции.
Пример 3.8. Представить функцию fe= (01001100) из примера 3.7 в виде СКНФ.
Решение.
1.Подчеркнем все булевы двоичные наборы, принадлежащие дополнению к носителю и сопоставим каждому набору σe Nf элементарную дизъюнкцию.
x |
y |
z |
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
D1 = x |
|
y |
|
z |
|
= x1 y1 z1 = x y z |
|||||
|
0 |
0 |
0 |
|||||||||||||
0 |
0 |
1 |
|
1 |
D2 = x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
0 |
|
0 |
0 |
y |
1 |
z |
0 |
= x1 y0 z1 = x |
|
z |
||||
|
y |
|||||||||||||||
0 |
1 |
1 |
|
0 |
D3 = x |
0 |
y |
1 |
z |
1 |
= x1 y0 z0 = x |
|
|
|
||
|
y |
z |
||||||||||||||
1 |
0 |
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
1 |
|
1 |
D4 = x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
0 |
|
0 |
1 |
y |
1 |
z |
0 |
= x0 y0 z1 = |
|
|
|
z |
||
|
x |
y |
||||||||||||||
1 |
1 |
1 |
|
0 |
D5 = x |
1 |
y |
1 |
z |
1 |
= x0 y0 z0 = |
|
|
|
|
|
|
x |
y |
z |
2. Получаем СКНФ:
fскнф = D1&D2&D3&D4&D5 =
= (x y z)(x y z)(x y z)(x y z)(x y z). (3.3)
Её ранг равен 15.
36
Пример 3.9. Построить таблицу истинности, найти носитель функции, СДНФ и СКНФ булевой функции, заданной формулой
f(x, y, z) = ((x ↓ z) (y z)) | (x y)&(z → x).
Решение.
1. Установим порядок выполнения двоичных функций
|
|
|
|
|
7 |
|
1 |
3 |
2 |
8 |
4 |
6 |
5 |
f(x, y, z) = ((x ↓ z) (y z)) |((x y) & (z → x))
2. Разобьем формулу на элементарные функции:
f1 = x ↓ z f2 = y z f3 = f1 f2 f4 = x y f5 = z → x f6 = f4&f5
f7 = f6
f8 = f3 | f7
3.Вычислим значение элементарных функций f1, . . . , f8 на всех двоичных наборах:
x y z f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7 f8
0 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
4. Таблица истинности Tf заданной функции:
37
x |
y |
z |
|
f |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
1 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
0 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
0 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
5. Сопоставим всем наборам носителя элементарные конъюнкции:
x |
y |
z |
|
f |
K1 = |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
1 |
|
· |
|
· |
|
|
|
x |
y |
z |
|||||||
|
|
|
|
|
K2 = |
|
· |
|
· z |
|
0 |
0 |
1 |
|
1 |
||||||
|
x |
y |
||||||||
|
|
|
|
|
K3 = |
|
· y · |
|
||
0 |
1 |
0 |
|
1 |
||||||
|
x |
z |
||||||||
0 |
1 |
1 |
|
0 |
K4 = x · |
|
|
|
||
1 |
0 |
0 |
|
1 |
|
· |
|
|||
|
y |
z |
||||||||
|
|
|
|
|
K5 = x · |
|
· z |
|||
1 |
0 |
1 |
|
1 |
||||||
|
y |
|||||||||
|
|
|
|
|
K6 = x · y · |
|
||||
1 |
1 |
0 |
|
1 |
||||||
|
z |
|||||||||
|
|
|
|
|
K7 = x · y · z |
|||||
1 |
1 |
1 |
|
1 |
6. Итак, СДНФ заданной функции равна
fсднф = K1 K2 K3 K4 K5 K6 K7 =
= x · y · z x · y · z x · y · z x · y · z x · y · z x · y · z x · y · z.
Её ранг rсднф = 21.
7.Найдем СКНФ заданной функции. Она совпадает с элементарной дизъюнкцией, соответствующей единственному набору, на котором функция принимает нулевое значение.
fскнф = D1 = x y z; rскнф = 3.
Замечание 3.7. Очевидно, что порядок выполнения операций алгебры логики может задаваться, вообще говоря, не единственным образом. Так, в приведенном выше примере возможен и такой порядок
38
действий:
|
|
|
|
|
7 |
|
1 |
6 |
2 |
8 |
3 |
5 |
4 |
f(x, y, z) = ((x ↓ z) (y z)) |(x y) & (z → x) .
3.3.2Выражение сложения по модулю 2, эквивалентности
иимпликации через другие элементарные функции
Используя алгоритмы представления функций в виде СДНФ и СКНФ, выразим основные элементарные функции через дизъюнкцию, конъюнкцию и отрицание:
1. x y = (xy) (xy) = (x y)&(x y)
2.x y = x y = xy (x&y) = (x y)&(x y)
3. |
x → y = |
|
y. |
x |
3.4Многочлен Жегалкина
Определение 3.7. Многочленом Жегалкина называется формула вида
P (xe) =
= a0 a1x1 a2x2 . . . anxn a12x1x2 a13x1x3 . . . a12:::nx1x2 · · · xn.
Другими словами, многочлен Жегалкина - сумма по модулю два попарно различных элементарных конъюнкций, не содержащих отрицаний переменных (многочлен по модулю 2).
Пример 3.10. Многочленами Жегалкина являются следующие формулы:
f1(xe) = 1 x1 x1x2x3; f2(xe) = x1x2 x1x3.
Теорема 3.6 (И.И.Жегалкина). Всякая булева функция представима в виде многочлена Жегалкина, причем единственным образом (с точностью до порядка слагаемых и порядка сомножителей в конъюнкциях).
39
Доказательство. Если функция f(x) ≡ const, то она уже представ-
лена в виде многочлена Жегалкина. |
|
||||||||
Пусть |
f(x) |
const, |
тогда |
функцию можно представить в виде |
|||||
e |
̸≡ |
|
|
e |
|
||||
СДНФ: |
|
|
1 |
2 |
n−1 n |
||||
|
|
f(x) = |
σ |
Nf x1 |
|
x2 |
· · · xn−1 xn . |
||
Учитывая, что |
e |
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x · x |
|
= 0, |
получаем
(x1 1 x2 2 · · · xnn )(x11 x22 · · · xnn ) ≡ 0
при (α1, α2, . . . , αn) ≠ (β1, β2, . . . , βn).
Поскольку первые 3 строки таблиц истинности для функций двух переменных "дизъюнкция" и "сложение по модулю 2" совпадают, то x y = x y при x · y = 0. Поэтому, учитывая, что в СДНФ нет одинаковых логических слагаемых, булеву функцию "дизъюнкция" в СДНФ можно заменить на функцию "сложение по модулю 2".
Функция принимает вид
f(xe) = σe Nf x11 x22 · · · xnn−−11 xnn .
Используя равенство x = x σ 1, заменяем в полученной формуле все x на x σ 1. Раскрываем скобки; учитывая тождество x x = 0, приводим подобные, вычеркивая пары одинаковых слагаемых. В результате этих преобразований получим многочлен Жегалкина.
Существование многочлена Жегалкина доказано. Докажем его единственность.
В общем виде многочлен Жегалкина можно представить формулой |
|
f(x) = (i1, i2, . . . , k)αi1i2::: k xi1 · xi2 · · · xik , |
αi1i2::: k {0, 1}. |
Числоeразличных конъюнкций xi1 ·nxi2 · · · xik |
равно числу всех под- |
множеств из n элементов, то есть 2 . Число различных многочленов равно числу всех подмножеств множества конъюнкций, то есть 22n . Таким образом, число всех многочленов Жегалкина, зависящих от n переменных, равно числу всех булевых функций n переменных (см. теорему 2.2). Из этого, как следствие, делаем вывод о единственности представления булевой функции многочленом Жегалкина.
40