chast_2_elektr_i_magnet

12

кулярны. Следовательно, поток через всю поверхность цилиндра будет равен ФЕ=2ЕS. Согласно теореме Гаусса тот же поток можно представить в виде ФЕ=q/ε0=Sσ/ε0. Сравнивая оба выражения, получаем

в). Поле шара радиуса R, равномерно заряженного по объему с объемной плотностью заряда ρ.

Ввиду шаровой симметрии вектор Е параллелен или антипараллелен радиусу−вектору r, проведенному из центра шара в точку наблюдения. В качестве гауссовой поверхности выбираем сферу S радиуса r. Поток вектора Е через эту поверхность 4π r2E по теореме Гаусса равен q/ε0. Поэтому при r≥R получаем

График зависимости E от r представлен на рис.1.7.

1.5. Потенциальность электрического поля. Циркуляция вектора напряженности электрического поля по замк-

нутому контуру

Рассмотрим поле, создаваемое неподвижным точечным зарядом q. Сила, действующая в таком поле на пробный заряд qпр

до q при перемещении на dl, следовательно, δА=Fdr. Полная работа при перемещении qпр из точки 1 в точку 2 будет

Получили, что А12 не зависит от формы траектории, а зависит только от начального и конечного положения заряда qпр. Это означает, что центральное кулоновское поле является потенциальным (консервативным).

В курсе “Механика” показывалось, что для любого потенциального поля выполняется условие

∫(F ,dl )=0

L

для любого замкнутого контура L (такой интеграл называется циркуляцией). После деления данного выражения на qпр, получим

L

Циркуляция вектора напряженности электрического поля точечного заряда по замкнутому контуру равна нулю.

На основании принципа суперпозиции из консервативности поля точечного заряда следует консервативность произвольного электрического поля.

14

∫(Е,dl )= ∫(∑Еi ,dl )= ∑∫(Е,dl )=0 ,

L L L

т.е. соотношение (1.12) выполняется для любого электрического поля.

1.6.Потенциал электрического поля

1.6.1.Потенциал поля точечного заряда

Вкурсе “Механика” было показано, что в любом потенциальном поле работа сил поля может быть представлена как убыль потенциальной энергии:

С другой стороны для электростатического поля должно выполняться соотношение (1.11). Сравнивая (1.11) и (1.13), можно сделать вывод, что потенциальная энергия взаимодействия точечныхзарядов q и qпр равна

W = 4πε1 0 qqrпр +const .

Естественно потребовать, чтобы при удалении пробного заряда на бесконечность его потенциальная энергия обращалась в ноль, откуда получается const=0. Тогда

W = 4πε1 0 qqrпр .

Из последнего выражения видно, что отношение W/qпр не зависит от qпр и является скалярной характеристикой электрического поля. Это отношение называется потенциалом электрического поля в данной точке

ϕ = W .

qпр

Потенциал численно равен работе, совершаемой силами поля по удалению единичного положительного заряда из данной точки в ту, где потенциал принят равным нулю.

В СИ потенциал измеряется в вольтах [В]: 1В=1Дж/Кл. Потенциал поля точечного заряда

1.6.2. Связь между потенциалом и напряженностью электрического поля

В курсе “Механика” , было показано, что в потенциальных полях существует связь между силой, действующей на тело, и его потенциальной энергией:

F = −gradW .

Для точечной частицы с зарядом q F = qE и W = qϕ , поэтому

ВСИ напряженность электрического поля измеряется в В/м.

1.6.3.Потенциал поля системы точечных зарядов

Если электрическое поле создано системой точечных зарядов, то, согласно принципу суперпозиции и правилам дифферен-

рядов.

1.6.4. Потенциал поля зарядов, непрерывно распределенных в объеме V

Пусть электрический заряд распределен в конечной области пространства объемом V, и задана объемная плотность заряда ρ(x,y,z). На бесконечности потенциал считаем равным нулю. Тогда

ϕ(x, y,z)= 1 ∫∫∫ ρdV . 4πε0 V r

При непрерывном распределении зарядов с конечной плотностью ρ потенциал никогда не обращается в ноль.

16

2.ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВЕЩЕСТВЕ

2.1.Электрический диполь

Электрическим диполем называется система двух одинаковых по величине разноименных точечных зарядов +q и −q, расстояние между которыми много меньше расстояния до тех точек, в которых определяется поле системы.

Введем в рассмотрение электрический момент диполя p=ql,

Диэлектрики − вещества, не обладающие способностью проводить электрический ток.

17

Различают следующие виды диэлектриков − полярные, неполярные и ионные кристаллы.

Неполярные диэлектрики (Н2, О2, N2 и др,) состоят из неполярных молекул. У таких молекул “цент тяжести” положительного и отрицательного зарядов совпадают друг с другом и их дипольный момент равен нулю.

Полярные диэлектрики состоят из полярных молекул (HCl, NH, H2O и др.). “Центры тяжести” положительного и отрицательного зарядов таких молекул не совпадают и их дипольный момент отличен от нуля.

Кристаллическую решетку ионных кристаллов можно представить как совокупность двух подрешеток, одна из которых образована положительными ионами, другая − отрицательными.

Под воздействием внешнего электрического поля (если оно не очень велико) происходит процесс поляризации диэлектриков. В зависимости от типа диэлектрика механизм поляризации может быть следующим.

1.В неполярных молекулах центры тяжести положительного и отрицательного зарядов смещаются друг относительно друга и молекула приобретает дипольный момент, ориентированный вдоль вектора Е внешнего поля (электронная поляризация).

2.Полярные молекулы преимущественно ориентируют свои собственные дипольные моменты по направлению поля (ориентационная поляризация).

3.В ионных кристаллах обе подрешетки сдвигаются друг относительно друга, что также приводит к поляризации

диэлектрика.

Процесс поляризации диэлектрика количественно описывается с помощью вектора поляризации Р − дипольного момента единицы объема диэлектрика.

Pr = ∑V pi V ,

где рi − дипольный момент молекул, заключенных в физически малом объеме V.

18

У изотропных диэлектриков любого типа вектор Р связан с напряженностью электрического поля в той же точке пространства (при условии, что напряженность внешнего поля много меньше напряженности внутриатомных полей) соотношением

где κ − диэлектрическая восприимчивость,− постоянная, завися-

щая от свойств данного вещества.

В случае полярных диэлектриков ориентирующему действию внешнего поля мешает тепловое движение молекул, стремящееся “разбросать” их дипольные моменты по всем направлениям. В результате устанавливается некоторая преимущественная ориентация дипольных моментов в направлении поля. Оказывается, что при постоянной напряженности поля диэлектрическая восприимчивость обратно пропорциональна температуре.

2.3. Связанные заряды

На рис.2.2 диэлектрик показан в виде параллелепипеда. Выделенные малые объемы V − эллипсоиды. В отсутствии поля дипольный момент объема V равен нулю. При включении внешнего поля диэлектрик поляризуется, дипольные моменты объемов V отличны от нуля.

Мы видим, что на торцах параллелепипеда появляются нескомпенсированные положительные и отрицательные заряды. Это индукционные заряды, появляющиеся в результате поляризации диэлектрика. Их называют связанные заряды, этим термином хотят подчеркнуть, что свобода перемещения связанных за-

дов.

Пусть диэлектрик однороден и смещение зарядов одинаково

20

Пуассона (1.6)) можно найти связь между вектором напряженности электрического поля в данной точке и объемной плотностью заряда ρ в этой же точке. Под ρ мы понимаем плотность свободных зарядов. Но в диэлектриках источником поля служат не только свободные, но и связанные заряды. Следовательно, уравнение Пуассона для диэлектриков нужно переписать в виде

divEr = 1 (ρ( x, y,z ) + ρ′( x, y,z )).

ε0

С другой стороны, выполняется соотношение (2.6), тогда

В последнем соотношении ρ − объемная плотность только свободных зарядов!

Выражение в скобках называется электрическим смещени-

ем (вектором электрической индукции)

Используя (2.4), можно записать

D = ε0 E +κε0 Е = ε0 ( 1 +κ )Е.

Постоянная 1+κ=ε называется относительной диэлектрической проницаемостью вещества. Тогда

D = εε0 Е.

Из (2.7) и (2.8) видно, что для изотропных диэлектриков должно выполняться соотношение

т.е. единственным источников вектора электрического смещения являются свободные заряды.

2.5. Теорема Гаусса для вектора электрического смещения. Граничные условия

2.5.1. Теорема Гаусса для электрического поля в диэлектрике

Как мы выяснили, введение вектора электрического смещения автоматически учитывает поле связанных зарядов. Так, например, для поля точечного заряда q в веществе имеем соотно-

Следовательно, повторив выводы, приведенные в параграфе 1.3, можем записать

где Σqi − сумма свободных зарядов, заключенных внутри поверхности S.

Выражение (2.10) есть теорема Гаусса для поля в веществе в интегральной форме, а (2.9) − теорема Гаусса для поля в веществе в дифференциальной форме.

2.5.2.Граничные условия

Рассмотрим плоскую границу двух диэлектриков, заполняющих все пространство. Пусть ε1 и ε2 − их относительные ди-

тора Е по прямоугольному контуру 1−2−3−4 (рис.2.4). Очевидно

где a и b − длина и ширина выбранного контура, Еτ1 и Еτ2 − тангенциальные составляющие векторов Е1 и Е2, <Eb> − среднее значение нормальных составляющих векторов Е1 и Е2 на участках 2−3 и 4−1. Расстояние а считаем настолько малым, что в его пределах составляющие Еτ1 и Еτ2 можно считать постоянными.

Устремляя в (2.11) расстояние b к нулю, получаем Еτ1=Еτ2. Для вектора электростатической индукции D при этом имеем