Типовые расчёты по алгебре - задания.pdf
.pdf21
4.9.Что такое ранг системы векторов, что такое максимальная линейно независимая подсистема? Как связаны ранги двух систем векторов, одна из которых линейно выражается через другую? Что происходит с рангом системы векторов при выполнении элементарных преобразований?
4.10.Что называется базисом n-мерного линейного простран-
ства? Приведите примеры. Как определяются координаты вектора в данном базисе? Как выражаются линейные операции над векторами в координатах?
4.11. Что такое полная система векторов в линейном пространстве? Сформулируйте теорему об эквивалентном описании базиса как линейно независимой полной системы векторов.
4.12. Что является базисом линейной оболочки системы векторов и какова ее размерность?
4.13. Привести пример одномерного и двухмерного подпространств в пространстве: а) R3 ; á) M23 ; â) P3.
ТИПОВОЙ РАСЧЕТ •2 Теоретические упражнения
1. Доказать утверждения о связи решений однородной и неоднородной систем линейных уравнений:
а) разность двух решений неоднородной системы является решением однородной системы; б) сумма решений неоднородной и однородной систем является ре-
шением неоднородной системы;
в) общее решение неоднородной системы имеет вид X = X0+X÷, ãäå
Xч частное решение неоднородной системы, X0 общее решение
однородной системы; г*) каков геометрический смысл последнего утверждения для си-
стемы уравнений с тремя неизвестными?
2. Доказать, что для любых различных чисел x1, x2, x3 и любых чисел y1, y2, y3 существует, причем единственный, многочлен y =
f(x) степени не больше 2, для которого f(xi) = yi, i = 1, 2, 3. Когда степень этого многочлена меньше 2, равна 1, равна 0?
22
3. Пусть A прямоугольная матрица. Докажите, что r(A) = 1 , A = B ¢ C, ãäå B вектор-столбец, C вектор-строка (r(A) ранг матрицы A; матрицы B, C ненулевые).
4. Пусть A прямоугольная матрица. Докажите, что всякое элементарное преобразование строк матрицы A можно представить в виде умножения матрицы A слева на некоторую матрицу X, а всякое элементарное преобразование столбцов матрицы A в виде умножения матрицы A справа на некоторую матрицу Y .
5. Действие оператора ^ |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
A â n-мерном пространстве задается фор- |
|||||
мулой преобразования координат векторов в некотором базисе: |
||||||||
|
|
y1 |
1 |
a11 ::: a1n |
x1 |
1: |
||
|
y¹ = Ax^¹ |
0 ::: |
= 0 ::: |
::: |
::: |
10 ::: |
||
Доказать, что ^ |
, @ yn |
A |
@ an1 |
::: |
ann |
A@ xn |
A |
|
базисе. |
A линейный оператор и найти его матрицу в этом |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. Пусть ^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A линейный оператор. Доказать, что если fx¹1; : : : ; x¹ng |
|||||||
|
|
|
|
|
|
^ |
^ |
|
линейно зависимая система, то система fAx¹1; :::; Ax¹ng тоже линей- |
||||||||
но зависима. Верно ли обратное? |
|
|
|
|
|||
7. Доказать, что матрицы оператора в двух разных базисах сов- |
|||||||
падают тогда и только тогда, когда матрица оператора в одном |
|||||||
базисе перестановочна с матрицей перехода от этого базиса ко вто- |
|||||||
ðîìó. |
|
|
|
|
|
|
|
8. Является ли оператор дифференцирования невырожденным |
|||||||
в линейном пространстве L: à) L = Pn; á) L = L[cos t; sin t]? |
|
||||||
9*. В пространстве всех многочленов заданы операторы ^ è ^ |
|||||||
A^(a0 + a1t + : : : + antn) = a1 + a2t + : : : + antn¡1; |
A |
B: |
|||||
|
|
||||||
^ |
|
n |
|
2 |
n+1 |
: |
|
B(a0 + a1t + : : : + ant |
|
) = a0t + a1t + : : : + ant |
|
||||
Доказать линейность операторов и проверить, что ^ ^ |
^, ^ ^ |
^ |
|||||
|
|
|
|
AB = I BA 6= I. |
|||
10. Пусть x;¹ y¹ |
собственные векторы оператора |
^ |
|
|
|||
|
|
|
|
A, отвечающие |
|||
различным собственным значениям. Доказать, что вектор z¹ = x¹ + y¹
не является собственным вектором этого оператора.
11. Матрица A удовлетворяет условию A2 = I. Докажите, что
всякая подобная ей матрица обладает тем же свойством. Что можно сказать о собственных числах матрицы A? Приведите пример такой
недиагональной матрицы.
23
12. Ненулевая матрица A удовлетворяет условию A2 = 0. Ïîêà-
зать, что любая подобная ей матрица удовлетворяет этому условию. Диагонализуема ли матрица A? Каковы ее собственные значения?
Привести пример такой матрицы.
13. Функция B(¹x; y¹) задается через координаты векторов в некотором базисе n-мерного пространства по формуле:
|
|
b11 |
::: |
b1n |
|
y1 |
A |
|
|
@ bn1 |
::: |
bnn |
A@ yn |
|
|||
B(¹x; y¹) = (x1; :::; xn) |
0 |
::: |
::: |
::: |
10 |
::: |
1 |
: |
Доказать, что B(¹x; y¹) билинейная форма; найти ее матрицу в этом
базисе.
14. Доказать, что симметричная билинейная форма
значно восстанавливается по порожденной ею квадратичной форме
'(¹x) по формуле: B(¹x; y¹) = ['(¹x + y¹) ¡ '(¹x) ¡ '(¹y)]=2.
15. Доказать, что если ненулевые векторы евклидова пространства x¹1; :::; x¹n попарно ортогональны, то они линейно независимы.
16. Доказать, что в евклидовом пространстве справедливо неравенство треугольника: kx¹ + y¹k · kx¹k+ ky¹k. Когда оно превращается
в равенство? |
|
|
|
|
|
|
17*. Доказать, что если ^ |
|
|
|
|
||
|
|
A линейный оператор в n-мерном про- |
||||
странстве, имеющий n |
различных собственных значений, и |
|
^ ^ |
|
||
|
|
AB = |
||||
^ ^, òî |
^ |
|
|
|
|
|
BA |
B обладает базисом из собственных векторов. |
|
|
|
||
18*. Пусть линейный оператор |
^ удовлетворяет условию |
^2 |
¡ |
|||
|
|
|
A |
|
A |
|
A^ + I^ = 0^. Доказать, что A^ обратим, и выразить A^¡1 через A^. |
|
|
||||
19*. Пусть C невырожденная матрица. Доказать, что квадратичная форма, заданная в некотором базисе матрицей B = CT C
(см. упр.10), положительно определена. |
|
||
20*. Пусть ^ è ^ |
|
|
|
|
A B линейные операторы в конечномерном про- |
||
странстве L |
такие, что |
^ ^ ^. Доказать, что |
^ |
|
AB = I |
A обратим, и найти |
|
^¡1. (Указание: вопрос сводится к аналогичному вопросу для квад-
A
ратных матриц.) Верно ли аналогичное утверждение в бесконечномерном пространстве?
Практические задания Задача 1. Найти фундаментальную систему решений и общее
решение однородной системы уравнений.
24
|
|
|
• âàð. |
Система уравнений |
|
|
x1 + 2x2 + 4x3 ¡ 3x4 = 0 |
|
1, 20 |
3x1 + 5x2 + 6x3 ¡ 4x4 = 0 |
|
|
4x1 + 5x2 ¡ 2x3 + 3x4 = 0 |
|
|
3x1 + 8x2 + 24x3 ¡ 19x4 = 0 |
|
|
2x1 ¡ 4x2 + 5x3 + 3x4 = 0 |
|
2, 21 |
3x1 ¡ 6x2 + 4x3 + 2x4 = 0 |
|
|
4x1 ¡ 8x2 + 17x3 + 11x4 = 0 |
|
|
5x1 ¡ 10x2 + 9x3 + 5x4 = 0 |
|
|
3x1 + 2x2 + x3 + 3x4 + 5x5 = 0 |
|
3, 22 |
6x1 + 4x2 + 3x3 + 5x4 + 7x5 = 0 |
|
9x1 + 6x2 + 5x3 + 7x4 + 9x5 = 0 |
||
|
||
|
3x1 + 2x2 + 4x3 + 8x4 + 8x5 = 0 |
|
|
6x1 ¡ 2x2 + 2x3 + 5x4 + 7x5 = 0 |
|
4, 23 |
9x1 ¡ 3x2 + 4x3 + 8x4 + 9x5 = 0 |
|
|
6x1 ¡ 2x2 + 6x3 + 7x4 + x5 = 0 |
|
|
3x1 ¡ x2 + 4x3 + 4x4 ¡ x5 = 0 |
|
|
x1 ¡ x3 + x5 = 0 |
|
5, 24 |
x2 ¡ x4 + x6 = 0 |
|
|
x1 ¡ x2 + x5 ¡ x6 = 0 |
|
|
x1 ¡ x4 + x5 = 0 |
|
|
5x1 + 6x2 ¡ 2x3 + x4 + 4x5 = 0 |
|
6, 25 |
2x1 + 3x2 ¡ x3 + 4x4 + 2x5 = 0 |
|
|
7x1 + 9x2 ¡ 3x3 + 5x4 + 6x5 = 0 |
|
|
5x1 + 9x2 ¡ 3x3 + x4 + 6x5 = 0 |
|
|
3x1 + 4x2 + x3 + 2x4 + 3x5 = 0 |
|
7, 26 |
5x1 + 7x2 + x3 + 3x4 + 4x5 = 0 |
|
4x1 + 5x2 + 2x3 + x4 + 5x5 = 0 |
||
|
||
|
7x1 + 10x2 + x3 + 6x4 + 5x5 = 0 |
|
|
3x1 + x2 ¡ 8x3 + 2x4 + x5 = 0 |
|
8, 27 |
2x1 ¡ 2x2 ¡ 3x3 ¡ 7x4 + 2x5 = 0 |
|
|
x1 + 11x2 ¡ 12x3 + 34x4 ¡ 5x5 = 0 |
|
|
5x1 ¡ x2 ¡ 11x3 ¡ 3x4 + 3x5 = 0 |
|
|
7x1 + 2x2 ¡ x3 ¡ 2x4 + 2x5 = 0 |
|
9, 28 |
x1 ¡ 3x2 + x3 ¡ x4 ¡ x5 = 0 |
|
|
2x1 + 5x2 + 2x3 + x4 + x5 = 0 |
|
|
5x1 + 2x2 + x3 ¡ x4 + x5 = 0 |
25
|
|
• âàð. |
Система уравнений |
|
x1 + x2 + 10x3 + x4 ¡ x5 = 0 |
10, 29 |
5x1 ¡ x2 + 8x3 ¡ 2x4 + 2x5 = 0 |
|
3x1 ¡ 3x2 ¡ 12x3 ¡ 4x4 + 4x5 = 0 |
|
6x1 + 18x3 ¡ x4 + x5 = 0 |
11, 30 |
6x1 ¡ 9x2 + 21x3 ¡ 3x4 ¡ 12x5 = 0 |
¡4x1 + 6x2 ¡ 14x3 + 2x4 + 8x5 = 0 |
|
|
2x1 + 3x2 + 7x3 ¡ x4 ¡ 4x5 = 0 |
|
2x1 ¡ x2 + 2x3 ¡ x4 + x5 = 0 |
12, 16 |
x1 + 10x2 ¡ 3x3 ¡ 2x4 ¡ x5 = 0 |
|
4x1 + 19x2 ¡ 4x3 ¡ 5x4 ¡ x5 = 0 |
|
3x1 + 9x2 ¡ x3 ¡ 3x4 = 0 |
|
x1 + x2 ¡ 3x4 ¡ x5 = 0 |
13, 17 |
x1 ¡ x2 + 2x3 ¡ x4 = 0 |
|
4x1 ¡ 2x2 + 6x3 + 3x4 ¡ 4x5 = 0 |
|
2x1 + 4x2 ¡ 2x3 + 4x4 ¡ 7x5 = 0 |
|
x1 ¡ 2x2 + x3 ¡ x4 + x5 = 0 |
14, 18 |
2x1 + x2 ¡ x3 + 2x4 ¡ 3x5 = 0 |
|
3x1 ¡ 2x2 ¡ x3 + x4 ¡ 2x5 = 0 |
|
2x1 ¡ 5x2 + x3 ¡ 2x4 + 2x5 = 0 |
|
x1 ¡ 2x2 + x3 ¡ x4 + x5 = 0 |
15, 19 |
2x1 + x2 ¡ x3 ¡ x4 + x5 = 0 |
|
x1 + x2 ¡ 5x3 ¡ 5x4 + 5x5 = 0 |
|
3x1 ¡ 7x2 ¡ 2x3 + x4 ¡ x5 = 0 |
Задача 2. Найти общее решение в зависимости от значения параметра ¸. При каких значениях ¸ система допускает решение с
помощью обратной матрицы?
• вар. Система уравнений
5x1 ¡ 3x2 + 2x3 + 4x4 = 3
14x1 ¡ 2x2 + 3x3 + 7x4 = 1 8x1 ¡ 6x2 ¡ x3 ¡ 5x4 = 9 7x1 ¡ 3x2 + 7x3 + 17x4 = ¸
26
• вар. Система уравнений
3x1 + 2x2 + 5x3 + 4x4 = 3
22x1 + 3x2 + 6x3 + 8x4 = 5 x1 ¡ 6x2 ¡ 9x3 ¡ 20x4 = ¡11 4x1 + x2 + 4x3 + ¸x4 = 2
2x1 + 5x2 + x3 + 3x4 = 2
34x1 + 6x2 + 3x3 + 5x4 = 4 4x1 + 14x2 + x3 + 7x4 = 4 2x1 ¡ 3x2 + 3x3 + ¸x4 = 7
¸x1 + x2 + x3 + x4 = 1
4x1 + ¸x2 + x3 + x4 = 1 x1 + x2 + ¸x3 + x4 = 1 x1 + x2 + x3 + ¸x4 = 1
2x1 ¡ x2 + 3x3 + 4x4 = 5
54x1 ¡ 2x2 + 5x3 + 6x4 = 7 6x1 ¡ 3x2 + 7x3 + 8x4 = 9 ¸x1 ¡ 4x2 + 9x3 + 10x4 = 11
2x1 + 3x2 + x3 + 2x4 = 3
64x1 + 6x2 + 3x3 + 4x4 = 5 6x1 + 9x2 + 5x3 + 6x4 = 7 8x1 + 12x2 + 7x3 + ¸x4 = 9
7 |
(1 + ¸)x1 + x2 + x3 = 1 |
x1 + (1 + ¸)x2 + x3 = ¸ |
|
|
x1 + x2 + (1 + ¸)x3 = ¸2 |
|
(¸ + 1)x1 + x2 + x3 = ¸2 + 3¸ |
8 |
x1 + (¸ + 1)x2 + x3 = ¸3 + 3¸2 |
|
x1 + x2 + (¸ + 1)x3 = ¸4 + 3¸3 |
9 |
¸x1 + x2 + x3 = 1 |
x1 + ¸x2 + x3 = ¸ |
|
|
x1 + x2 + ¸x3 = ¸2 |
10 |
(1 + ¸)x1 + x2 + x3 = 1 |
x1 + (1 + ¸)x2 + x3 = 1 |
|
|
x1 + x2 + (1 + ¸)x3 = 1 |
11 |
¸x1 + x2 + 2x3 = ¸ |
(¸ + 3)x1 + (¸ ¡ 1)x2 + x3 = 2¸ |
|
|
3(¸ + 1)x1 + (¸ + 1)x2 + (¸ + 3)x3 = 3 |
27
|
|
• âàð. |
Система уравнений |
12 |
¸x1 + ¸x2 + (¸ + 1)x3 = ¸ |
¸x1 + ¸x2 + (¸ ¡ 1)x3 = ¸ |
|
|
(¸ + 1)x1 + ¸x2 + (2¸ + 3)x3 = 1 |
13 |
3¸x1 + (2¸ + 1)x2 + (¸ + 1)x3 = ¸ |
(2¸ ¡ 1)x1 + (2¸ ¡ 1)x2 + (¸ ¡ 2)x3 = ¸ + 1 |
|
|
(4¸ ¡ 1)x1 + 3¸x2 + 2¸x3 = 1 |
14 |
(5¸ + 1)x1 + 2¸x2 + (4¸ + 1)x3 = 1 + ¸ |
(4¸ ¡ 1)x1 + (¸ ¡ 1)x2 + (4¸ ¡ 1)x3 = ¡1 |
|
|
2(3¸ + 1)x1 + 2¸x2 + (5¸ + 2)x3 = 2 ¡ ¸ |
15 |
(2¸ + 1)x1 ¡ ¸x2 ¡ (¸ + 1)x3 = 2¸ |
3¸x1 ¡ (2¸ ¡ 1)x2 ¡ (3¸ ¡ 1)x3 = ¸ + 1 |
|
|
(¸ + 2)x1 ¡ x2 ¡ 2¸x3 = 2 |
|
3x1 + 2x2 ¡ x3 + ¸x4 = 3¸ + 8 |
16 |
2x1 + 2x2 + ¸x3 ¡ 2x4 = ¡¸ + 12 |
|
¡7x1 ¡ 3x2 + 9x3 ¡ 17x4 = ¡7¸ ¡ 13 |
|
¡5x1 ¡ x2 + 11x3 ¡ 19x4 = ¡5¸ ¡ 7 |
|
¡4x1 ¡ 5x2 + 2x3 + ¸x4 = 4¸ ¡ 1 |
17 |
¡2x1 + 3x2 + 12x3 + 17x4 = 2¸ ¡ 5 |
|
2x1 + x2 + ¸x3 ¡ 5x4 = ¡4¸ ¡ 7 |
|
3x1 + x2 ¡ 7x3 ¡ 9x4 = ¡3¸ + 2 |
|
4x1 + 2x2 + 28x3 + ¸x4 = 12¸ + 3 |
18 |
5x1 ¡ 2x2 + 17x3 + 29x4 = 15¸ + 18 |
|
¡x1 + x2 ¡ x3 ¡ 10x4 = ¡3¸ ¡ 6 |
|
3x1 ¡ 4x2 + ¸x3 + 37x4 = 8¸ + 21 |
|
¡5x1 + x2 + ¸x3 ¡ 11x4 = ¡8¸ + 22 |
19 |
¡x1 + 2x2 + 12x3 + ¸x4 = ¡2¸ + 4 |
|
7x1 ¡ 2x2 + 13x4 = 14¸ ¡ 23 |
|
3x1 ¡ x2 ¡ x3 + 5x4 = 6¸ ¡ 10 |
|
¡x1 ¡ 2x2 + ¸x3 ¡ 5x4 = 4¸ ¡ 4 |
20 |
x1 + 7x2 ¡ 17x3 + 15x4 = ¡3¸ ¡ 3 |
|
¡4x1 + x2 ¡ 19x3 + ¸x4 = 12¸ ¡ 12 |
|
2x1 + 3x2 ¡ x3 + 8x4 = ¡6¸ + 5 |
28
|
|
• âàð. |
Система уравнений |
|
x1 + 3x2 + ¸x3 + 3x4 = 3¸ ¡ 4 |
21 |
¡x1 + 4x2 ¡ 23x3 ¡ 10x4 = ¡¸ ¡ 7 |
|
¡3x1 + 2x2 ¡ 29x3 ¡ 20x4 = ¡3¸ + 9 |
|
¡x1 ¡ 2x2 + x3 + ¸x4 = ¡2¸ + 7 |
|
¡x1 + 4x2 + 10x3 ¡ 17x4 = 2¸ + 25 |
22 |
5x1 ¡ 2x2 + 4x3 + 13x4 = ¡10¸ + 1 |
|
¡5x1 ¡ 2x2 ¡ 16x3 + ¸x4 = 11¸ ¡ 32 |
|
2x1 ¡ x2 + ¸x3 + 6x4 = ¡6¸ + 1 |
|
x1 + 4x2 ¡ 17x3 + x4 = 3¸ + 2 |
23 |
5x1 + 6x2 ¡ 15x3 ¡ 9x4 = 15¸ ¡ 4 |
|
¡7x1 ¡ 5x2 + ¸x3 + 16x4 = ¡18¸ ¡ 3 |
|
x1 ¡ x2 + 8x3 + ¸x4 = 2¸ ¡ 7 |
|
3x1 + 2x2 + 16x3 + 11x4 = ¡3¸ ¡ 6 |
24 |
¡4x1 ¡ x2 ¡ 13x3 + ¸x4 = 6¸ + 19 |
|
¡7x1 + 2x2 + ¸x3 + 21x4 = 5¸ + 26 |
|
¡3x1 + x2 ¡ x3 + 10x4 = 3¸ + 15 |
|
2x1 + 3x2 + 3x3 + 14x4 = 4¸ ¡ 8 |
25 |
3x1 ¡ x2 ¡ 23x3 + ¸x4 = 7¸ |
|
3x1 + x2 ¡ 13x3 + 7x4 = 6¸ ¡ 5 |
|
4x1 + 5x2 + ¸x3 + 24x4 = 11¸ ¡ 17 |
|
¡x1 + 3x2 + 19x3 ¡ 13x4 = ¸ ¡ 9 |
26 |
2x1 + x2 + ¸x3 + 12x4 = ¡3¸ + 8 |
|
x1 + 5x2 + 21x3 + ¸x4 = ¸ + 7 |
|
3x1 ¡ 2x2 ¡ 22x3 + 25x4 = ¡3¸ + 20 |
|
5x1 + 3x2 ¡ x3 + 4x4 = 15¸ + 1 |
27 |
¡3x1 ¡ 2x2 + ¸x3 ¡ 3x4 = ¡11¸ ¡ 4 |
|
¡4x1 ¡ x2 + 12x3 + x4 = ¡12¸ + 9 |
|
¡2x1 ¡ x2 + 2x3 + ¸x4 = ¡3¸ + 4 |
|
16x1 ¡ 3x2 ¡ 8x3 + ¸x4 = ¡12¸ + 15 |
28 |
¡6x1 + x2 + ¸x3 = 5¸ ¡ 7 |
|
¡x1 + 2x2 + 15x3 ¡ 11x4 = ¸ + 4 |
|
¡5x1 + 4x2 + 27x3 ¡ 19x4 = 5¸ + 2 |
29
|
|
• âàð. |
Система уравнений |
|
3x1 + 2x2 + 30x3 + ¸x4 = 5¸ + 6 |
29 |
5x1 ¡ 2x2 + 2x3 + 19x4 = 10¸ ¡ 25 |
|
¡x1 + x2 + ¸x3 ¡ 5x4 = ¡3¸ + 13 |
|
4x1 ¡ x2 + 7x3 + 14x4 = 8¸ ¡ 17 |
|
¡3x1 + 5x2 ¡ 12x3 + ¸x4 = 9¸ ¡ 12 |
30 |
¡x1 + 2x2 ¡ 5x3 + 5x4 = 4¸ ¡ 13 |
|
3x1 ¡ 2x2 + 3x3 + 17x4 = ¡12¸ + 15 |
|
2x1 ¡ 3x2 + ¸x3 ¡ 2x4 = ¡4¸ ¡ 8 |
Задача 3. Линейный оператор ^ |
V |
3 |
! V |
3 определяется дей- |
A : |
|
|
ствием отображения ® на концы радиус-векторов точек трехмерно- |
|||
го пространства. |
|
|
|
1) Найти матрицу оператора ^ |
|
|
|
|
A в подходящем базисе пространства |
||
|
3, а затем в каноническом базисе |
~ ~ ~ |
. |
V |
|
fi; j; kg |
|
2) Определить, в какую точку переходят точки с координатами |
||||||
|
(1,0,0) и (-1,2,1) под действием отображения ®. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
• âàð. |
Отображение ® |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1, 21 |
отражение относительно плоскости |
x + y + z = 0 |
|
||
|
2, 22 |
поворот на 180 вокруг оси |
x = y = z |
|
||
|
3, 23 |
проектирование на ось |
x = y=2 = z |
|
|
|
|
4, 24 |
проектирование на плоскость |
x + y + z = 0 |
|
||
|
5, 25 |
отражение относительно плоскости |
x + y ¡ z = 0 |
|
||
|
6, 26 |
поворот на 180 вокруг оси |
x = y = ¡z |
|
||
|
7, 27 |
проектирование на ось |
2x = 2y = ¡z |
|
|
|
|
8, 28 |
проектирование на плоскость |
x ¡ y + z = 0 |
|
||
|
9, 29 |
отражение относительно плоскости |
x ¡ y + z = 0 |
|
||
|
10, 30 |
поворот на 180 вокруг оси |
¡x = y = z |
|
||
|
11, 16 |
проектирование на ось |
x = 2y = 2z |
|
|
|
|
12, 17 |
проектирование на плоскость |
¡x + y + z = 0 |
|
||
|
13, 18 |
отражение относительно плоскости |
¡x + y + z = 0 |
|
||
|
14, 19 |
поворот на 180 вокруг оси |
x = ¡y = z |
|
||
|
15, 20 |
проектирование на плоскость |
x + y ¡ z = 0 |
|
||
|
|
|
|
|
||
Задача 4. Пусть A |
|
матрица оператора ^ |
|
~ |
A из задачи 3 в ка- |
||
ноническом базисе |
~ ~ |
. Найдите собственные значения и соб- |
|
|
fi; j; kg |
|
|
30
ственные векторы матрицы A. Объясните, как полученный резуль-
тат связан с геометрическим действием оператора ^
A.
1) |
Задача 5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Доказать, что оператор ^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A является линейным оператором в про- |
|||||||||||||||||
|
странстве Pn многочленов степени не выше n. |
|||||||||||||||||||||||||||||
2) |
Найти матрицу оператора |
^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A в каноническом базисе Pn. |
|||||||||||||
3) Cуществует ли обратный оператор A^¡1? Если да, найти его мат- |
||||||||||||||||||||||||||||||
4) |
ðèöó. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ |
|
|
|
|
Найти образ, ядро, ранг и дефект оператора |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• |
|
n |
|
|
^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
• |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
(Ap)(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1; 22 |
2 |
|
d |
[(t + 1)p(t)] |
|
9; 30 |
2 |
(t + 1)p(t + 1) ¡ tp(t) |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
dt |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
2; 23 |
|
2 |
|
d |
[tp(t + 1)] |
|
10; 16 |
2 |
|
d |
[(t ¡ 2)p(t)] |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
dt |
|
|
dt |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dp(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
·t |
dp(t) |
¸ |
|
|
|
||||||
|
3; 24 |
|
3 |
(t + 1) dt |
|
|
|
|
|
|
11; 17 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
dt |
|
|||||||||||||||||
|
4; 25 |
|
3 |
t |
dp(t + 1) |
|
|
|
|
|
|
12; 18 |
2 |
|
d |
[tp(t ¡ 2)] |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|||||||||||||||||
|
5; 26 |
3 |
p(t) ¡ p(t + 2) |
|
13; 19 |
3 |
t |
dp(t) |
¡ p(t + 1) |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
dt |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 dp(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
6; 27 |
3 |
3tp(t) ¡ t |
|
|
|
|
|
|
|
14; 20 |
2 |
(t ¡ 2)p(t ¡ 2) ¡ tp(t) |
|
||||||||||||||||
|
|
dt |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
d2p(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dp(t) |
|
||||||||
|
7; 28 |
|
2 |
|
|
|
[tp(t)] + |
|
|
|
|
|
15; 21 |
2 |
(2t + 1)p(t) + t(1 ¡ t) |
|
|
|
||||||||||||
|
|
dt |
|
dt2 |
|
dt |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
d2p(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
8; 29 |
3 |
6tp(t) ¡ t ¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
dt2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Задача 6. Оператор ^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A действует на матрицы, образующие ли- |
||||||||||||||||||
нейное подпространство M в пространстве матриц второго порядка. |
||||||||||||||||||||||||||||||
1) |
Доказать, что ^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
A линейный оператор в M. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
2) |
Найти матрицу оператора |
^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A в каком-нибудь базисе M. |
|||||||||||||
3) |
Найти образ, ядро, ранг и дефект оператора |
^ |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A. |
|||