Уч.пособие-по-ОДМ-2012

181

в) Граф G3 не является деревом (граф содержит цикл из трех вершин, так называемый "треугольник").

182

Понятие дерева широко используется во многих областях математики и информатики. Например, как инструмент при вычислениях в

Доказательство.

Лемма. БарашевРебро в графе является мостом тогда, и только тогда, когда оно не входит ни в один цикл.

Необходимость. Пусть некоторое ребро ei является мостом. Докажем, что не существует цикла, содержащего данное ребро.

Предположим, что это не так, то есть существует цикл, вклю-

довательность ребер, образующих цикл вместе с данным ребром. Любые две вершины, входящие в компоненту связности, которой принадлежит ei, остаются связными, число компонент связности не увеличивается, что противоречит определению моста.

183

Достаточность. Пусть некоторое ребро ei не входит ни в один цикл. Допустим, что при удалении данного ребра его концы остаются связными. Это говорит о том, что существует маршрут, соединяющий оба конца. Объединим этот маршрут и ребро ei. Получили цикл, что противоречит условию леммы.

Теорема 10.1. Граф является лесом тогда, и только тогда, когда

Достаточность. Докажем, что, если в графе G любые две вершины vi и vj соединены ровно одной простой цепью, то G - дерево.

Так как любые две вершины графа соединены цепью, то, в силу теоремы 9.4, граф связен.

Если бы в графе был цикл, то любые две вершины этого цикла соединялись по крайней мере двумя простыми цепями. Значит, G не содержит циклов и связен. По определению G - дерево.

Теорема 10.3. В каждом дереве число вершин на единицу больше числа ребер.

184

Доказательство. Пусть G - дерево с n вершинами.

Согласно теореме 10.1 каждое ребро дерева является мостом. Удаление каждого моста, согласно определению 10.2, увеличивает количество компонент связности на 1.

Так как дерево - связный граф, то исходный граф G имеет одну компоненту связности. Удалив любое ребро, получаем 2 компоненты связности. Удалив 2 моста, имеем 3 компоненты связности. В общем случае, удалив i ребер, получаем i + 1 компоненту связности.

И так далее, удалив все мосты, получаем n компонент связности - изолированных вершин. Значит, процедуру удаления применяли к

1.G - дерево;

2.G не содержит циклов и имеет n − 1 ребро;

3.G связен и имеет n − 1 ребро;

4.G связен и каждое его ребро является мостом;

5.G не содержит циклов, но добавление любого ребра приводит к образованию ровно одного цикла.Барашев .

Следствие 10.4.1.УнучекВ дереве,МИРЭАсодержащем не менее двух вершин, по крайней мере две вершины являются висячими.

10.2 Остовные деревья

Определение 10.3. Остовом (остовным деревом) графа G называется подграф T , являющийся деревом и содержащий все вершины графа G.

185

Пример 10.3.

Определение 10.4. Граф называется взвешенным, если каждому его ребру e поставлено в соответствие неотрицательное число λ(e) -

вес ребра.

λ(G) = λ(e)

e E

Если бы вершины графа обозначали города, то вес ребра мог бы означать расстояние между городами, стоимость проезда и т.п. .

Определение 10.5. Минимальным остовом графа G называется остов, вес которого меньше или равен весу любого другого остовного дерева графа G.

186

Рассмотрим задачу.

Имеется n пунктов, которые объединяют в единую телефонную сеть. Для любых двух пунктов vi и vj известна стоимость прокладки кабеля lij. Требуется проложить кабель таким образом, чтобы любые два пункта имели телефонную связь, и при этом суммарная стоимость прокладки кабеля была бы минимальной.

Эту задачу удобно решать с помощью графов. Очевидно, что искомая схема будет соответствовать минимальному остову в полном гра-

Идея метода состоит в том, чтобы создавать дерево T , выбирая ребра

снаименьшим весом так, чтобы не возникал цикл.

1.Упорядочим ребра в порядке возрастания их весов.

2.Включаем в остов все вершины исходного графа.

3.Включаем в остов T первое ребро из списка.

4.Включаем в T следующие в списке ребра заданного графа, не образующие циклов с уже включенными в остов ребрами.

Алгоритм заканчивается, когда в остов включено n − 1 ребро (n - количество вершин в исходном графе).БарашевМИРЭАУнучек

10.2.2Алгоритм Прима построения минимального остова в графе

Алгоритм похож на предыдущий; различие состоит в том, что строим последовательность деревьев, увеличивая на каждом шаге количество вершин в дереве.

187

1. Возьмем произвольную вершину v1 из множества вершин графа V . Из всех ребер, смежных с v1, возьмем ребро с наименьшим весом. Сформируем дерево T1.

2. Пусть дерево Tk уже сформировано. Если имеется вершина, не принадлежащая Tk, выбираем ребро с наименьшим весом, смежное с ребром дерева Tk. Получили дерево Tk+1.

G

Решение.

Сначала для удобства обозначим вершины графа. Порядок нумера-

G

188

а) Алгоритм Краскала.

1.Выписываем ребра в порядке возрастания их длин: Ребра длины 2: {v0, v1}, {v0, v2}, {v5, v7};

Ребра длины 3: {v0, v3}, {v1, v2}, {v2, v3}, {v4, v6}; Ребра длины 4: {v1, v4}, {v3, v4}, {v5, v6}, {v6, v7};

Ребра длины 5: {v1, v5}, {v3, v6}, {v4, v5}.

2.Включаем в остов все восемь вершин графа.

ют цикла с ребром {v0, v1}. Количество ребер в дереве равно 3.

189

5.Ребро {v0, v3} длины 3 также включаем в остов. Количество ребер 4.

6. Ребра {v1, v2} и {v2, v3} в остов не включаем, так как они

образуют циклы с уже включенными в дерево ребрами. Ребро

7.Ребро {v1, v4} длины 3 включаем в остов, а ребро {v3, v4} - нет (образуется цикл). Ребро {v5, v6} включаем в остов.

T

Количество ребер на данном этапе работы алгоритма равно 7, что ровно на единицу меньше, чем количество вершин. Ал-

190