Уч.пособие-по-ОДМ-2012
.pdf
|
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(f1(α), . . . , fm(α)) 4 |
(f1(β), . . . , fm(β)). |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
В силу монотонности функции |
f имеем |
|
e |
|
|
|
e |
4 |
β |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
α, β : |
|
α |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
e |
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(α) |
6 f(β), то есть f(f1(α), . . . , fm(α)) 4 f(ef1(β), . . e. , fm(β)). |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
Получили,eчто |
|
e |
|
|
|
|
e |
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
e |
|||||||||
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
F (α) = f(f1 |
(α), . . . , fm(α)) |
4 f(f1(β), . . . , fm(β)) = F (β) |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
для всех |
e |
4 |
β, |
значит, |
|
|
e |
4 |
F (β), то есть F |
. |
|
|
e |
|||||||||||||||||||
|
α |
F (α) |
|
|
M. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Лемма M (лемма о немонотонной функции).Из немонотон- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
ной функции f(x1, . . . , xn) путем подстановки в неё вместо пере- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||
менных x1, . . . , xn функций x, 0 и 1 можно получить немонотонную |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
функцию одной переменной |
x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Без ограниченияБарашевобщности будем считать, что наборы α и β разли- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
Доказательство. Из немонотонности функции |
f(x1 |
, . . . , xn) |
следует, |
||||||||||||||||||||||||||||||
что существует хотя бы одна пара двоичных наборов |
e |
и β таких, что |
|||||||||||||||||||||||||||||||
α |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
e |
e |
|
|
e |
|
|
|
|
|
e{ f(β) = 0 |
|
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
α |
4 β, но f(α) > f(β). f(α) = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
.Аe |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
Это означает, что |
|
e1 |
6 |
|
1 |
|
|
|
|
e |
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
e |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
то есть f(α) = f(β). |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Унучек{ β = (1, 1, . . . , 1, αk+1, . . . , αn) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
β |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
e |
|
|
αn |
6 βn |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
β |
|
||||
|
Так как |
α |
4 |
β, |
|
|
α2 |
6 |
β2 |
|
значит, координаты |
|
i и |
i либо |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
то |
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(α = β |
), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, то |
αi = 0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
равны |
|
i |
|
i |
|
|
либо, |
|
i |
|
|
i |
|
|
{ βi = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
e |
|
||||
чаются в первых k координатах, то есть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α = (0, 0, . . . , 0, αk+1, . . . , αn) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Заменим первые |
k координат на x, остальные оставляем без изменения. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Получили функцию одной МИРЭАпеременной |
|
|
|
|
|
|
|
φ(x) = f(x, x, . . . , x, αk+1, . . . , αn).
131
Покажем,что φ(x) = x :
{
φ(0) = (0, 0, . . . , 0, αk+1, . . . , αn) = f(αe) = 1 = 0
e
φ(1) = (1, 1, . . . , 1, αk+1, . . . , αn) = f(β) = 0 = 1
x φ(x)
Так как таблица истинности 0 1 полученной функции φ(x) сов-
10
падает с таблицей истинности функции f(x) = x, то φ(x) = x.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П |
|
|
|
Пример 7.12. Получить функцию x из немонотонных функций |
|
|||||||||||
e |
|
e |
= (0101 1011). |
|
|
|
|
|
|
|||
а) f2 = (1010 1010); |
б) f3 |
. |
|
|
|
|||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
В |
|
|
|
уста- |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Немонотонность функций f2 = (1010 1010) |
и f3 |
= (0101 1011) |
||||||||||
новлена в примерах 7.10 и |
7.11 ( п. б) и в) ). |
|
|
e |
|
. |
|
|||||
|
e |
|
|
|
|
|
||||||
Барашев |
|
|
|
|
А |
0 |
||||||
|
|
|
. |
1 |
1 способ (с использованием алгоритма 1)
а) Найдем хотя бы одну пару наборов, на которой нарушается мо-
нотонность. Такой парой являются наборы σ1 = (000) и α1 = (001) :
e |
4 |
e |
, но f2 |
(000) = 1 > 0 = f2(001) (см. пример |
7.10, п. б) ). |
||||
σ1 |
α1 |
||||||||
|
|
|
|
σ |
|
α |
Унучек |
|
|
|
Наборы |
1 |
и |
|
1 отличаются только в |
e |
e |
e e
первые две координаты в наборе оставляем без изменений. Третью
лучены в примере 7.10, п. в)МИРЭА: |
e |
координату заменяем на функцию x. Получаем набор γ = (0, 0, x). Найденная функция одной переменной φ(x) = f2(0, 0, x) - искомая
функция "отрицание". Докажем это. |
|
|
||||
|
φ(0) |
= f2(0, 0, 0) |
= 1 |
|
x |
φ(x) |
Так как |
, то таблица истинности |
|
|
|||
0 |
1 |
|||||
|
φ(1) |
= f2(1, 1, 1) |
= 0 |
|
|
|
полученной функции φ(x) совпадает с таблицей истинности функции f(x) = x, то есть φ(x) = x.
б) fe3 = (0101 1011)
Наборы, на которых нарушается монотонность функции f3, уже по-
σ1 |
= (001) |
e |
4 |
e |
, 1 = f3(001) > f3(101) = 0. |
e |
|
||||
αe1 |
= (101) , σ1 |
α1 |
132
Наборы σe1 и αe1 различаются в первой координате; соответствующую этой координате переменную x1 заменяем на функцию x. Остальные координаты входят в набор γ = (x, 0, 1) без изменений.
φ(x) = f3(γ) = f3(x, 0, 1)
φ(0) = f3(0, 0, 1) = 1 |
|
|
|
|
|
φ(x) = x. |
|
||||
φ(1) = f3(1, 0, 1) = 0 |
|
||||
|
|
|
|||
2 способ нахождения наборов, на которых нарушается |
|
||||
монотонность (с использованием алгоритма 2). |
|
||||
e |
|
.П |
|
||
а) В примере 7.11, п. б) мы получили, что α000 =.(1) ̸4 α001 |
= (0). |
Индексы (000) и (001) при наборах α единичной длины соответствуют
двоичным наборам, на которых нарушается |
монотонность. |
e |
e |
б) При установлении немонотонности функции f3 в примере 7.11,
п. в) мы выяснили, что отношение предшествования нарушено для |
|||||||||||||
наборов (0101) и (1011) во второй координате.В |
|
. |
|||||||||||
x1 |
x2 |
x3 |
|
|
|
f3 |
С помощью таблицы истинности найдем на- |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
0 |
0 |
0 |
|
|
|
0 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
А |
||||||
0 |
0 |
1 |
|
|
|
1 |
боры , на которых нарушается.монотонность. |
||||||
|
|
|
Данные наборы в таблице подчеркнуты (это |
||||||||||
0 |
1 |
0 |
|
|
|
0 |
|||||||
|
|
|
вторые по порядку наборы от центра в каждой |
||||||||||
0 |
1 |
1 |
|
|
|
1 |
|||||||
|
|
|
половине таблицы). |
С |
|
|
|||||||
1 |
0 |
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Наборы (001) и (101) - искомые. |
|
|
||||||||
1 |
0 |
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|||||
|
|
|
Далее решение совпадает с решением первым |
||||||||||
1 |
1 |
0 |
|
|
|
1 |
|||||||
|
|
|
способом. |
|
|
|
|
|
|||||
1 |
1 |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Барашев |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Унучек |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
МИРЭА |
|
Замечание 7.15. Несмотря на то, что с помощью алгоритма 2 проще устанавливать монотонность функции, чаще используют алгоритм 1, так как в процессе его работы не только определяется монотонность, но и сразу находятся наборы, на которых она нарушается. Данные наборы мы используем для выражения функции x. Это особенно важно, когда x нужно выразить из немонотонной функции всеми возможными способами.
Пример |
7.13. Получить |
функцию |
|
из |
функции |
x |
|||||
ge = (0000 0011 0000 1001) всеми возможными способами. |
|
133
Решение.
1.Сначала исследуем функцию g(xe) на монотонность, применяя алгоритм 1.
Найдем носитель функции
Ng = {(0110), (0111), (1100), (1111)}.
Каждому набору σe из носителя сопоставим класс монотонности.
|
σ1 = (0110) |
7→M 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||||
|
= {(0110), (0111), (1110), (1111)}. |
|
|||||||||||||||||||||||||||
можно e |
|
= (1110) M 1 , но |
e |
|
|
|
|
.П |
|
|
|||||||||||||||||||
Наборeα1 |
α1 |
/ Ng. |
Функция немонотонна, |
||||||||||||||||||||||||||
|
применять лемму М. |
|
|
|
|
|
В |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
На паре наборов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
σ1 = (0110) и α1 = (1110) нарушается монотон- |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
функцию x на этой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
ность. Получим |
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
паре наборов. . |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
б) |
Барашевe3 = (1100) γ3 = (1, 1, 0, x); φ3 |
(x) = g(1, 1, x, 0) = x. |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
γ1 = (x, 1, 1, 0); φ1(x) = g(x, 1, 1, 0) = x; |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
|
|
|
φ1(0) = g(0, 1, 1, 0) = 1 = 0φ1(1) = g(1, 1, 1, 0) = 0 = 1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
2. |
|
|
|
σ2 = (0111) |
|
7→M 2 |
= {(0111), (1111)} Ng. |
|
|
||||||||||||||||||||
3. |
|
|
3 |
e |
Унучек |
|
|
|
|
|
|
} |
|||||||||||||||||
|
σ |
|
= (1100) |
|
|
M |
|
|
= |
|
(1100), (1101), (1110), (1111) . |
||||||||||||||||||
|
|
e |
|
|
|
|
|
e |
= (1110) |
|
также не принадлежат носите- |
||||||||||||||||||
Наборыeβ1 = (1101) и |
|
β2 |
|
||||||||||||||||||||||||||
Больше |
|
|
|
e |
|
|
МИРЭА |
|
|
||||||||||||||||||||
лю. Значит, функцию |
x |
можно выразить ещё двумя способами: |
|||||||||||||||||||||||||||
а) |
σ3 = (1100) |
|
γ2 = (1, 1, 0, x); φ2(x) = g(1, 1, 0, x) = |
x |
; |
||||||||||||||||||||||||
|
e1 = (1101) |
|
7→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
β |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e2 = (1110) |
|
7→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
β |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Убедиться в |
|
|
|
|
φ |
(x) = φ |
(x) = x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
e |
|
|
|
том, что |
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
можно также, как и в |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
предыдущих примерах. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
4. |
|
|
|
|
σ4 = (1111) |
|
7→M 4 |
= {(1111)} Ng. |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
наборов, на которых нарушается монотонность, нет. Зна- |
чит, других способов получить x в данном примере не имеется.
134
7.5Класс L линейных функций
Определение 7.9. Функция f(xe) называется линейной, если её многочлен Жегалкина не содержит конъюнкций.
Например, функции f1(x) = x1 x2 x4, f2(x) = 1 x1 x3 являются
линейными. |
(x) = x1 |
|
xe2 |
|
x4 |
и f2 |
(x) = 1e |
x1 |
|
x3 - нелинейные |
Функции f3 |
· |
|
· |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
функции.
Напомним, что способы построения многочлена Жегалкина описа- |
|||||||||||||||
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
. |
|
|
ны в п. 3.5 на стр. 41. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание 7.16. Все функции одной переменной |
|
|
|
||||||||||||
f1(x) = x, f2(x) = |
|
= x 1, f3(x).≡ 0П, f4(x) ≡ 1 |
|
|
|||||||||||
x |
|
|
|||||||||||||
являются линейными функциями. |
|
В |
. |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Множество всех линейных функций образует класс L. |
|
|
|||||||||||||
Теорема 7.7. Класс |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
|
|||
L линейных функций замкнут:. |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
[L] = L. |
|
|
С |
|
|
|
|
Доказательство. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1. f(x) = x L (см. замечание 7.16). |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2. Докажем, что любая суперпозиция F |
|
= f(f1, . . . , fm) линейных |
|||||||||||||
функций f, f1, . . . , fm также является линейной функцией. Дока- |
|||||||||||||||
жем, что: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Барашев |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
f, f1, . . . , fm L |
F = f(f1, . . . , fm) L. |
|
|
||||||||||
По определению линейной функции |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
Унучек |
|
|
|
|
||||||||
f, f1, . . . , fm L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
f = a00 a01x1 a02x2 . . . a0mxm |
|
|
|
|||||||||||
f1 = a10 a11x1 |
a12x2 . . . a1nxn |
|
|
0, 1 . |
|||||||||||
f2 = a20 |
|
a21МИРЭАx1 a22x2 . . . a2nxn , aij |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{ |
} |
|||
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fm = am0 am1x1 am2x2 . . . amnxn
135
F= f(f1, . . . , fm) = a00 a01f1 a02f2 . . . a0mfm =
=a00 a01 · (a10 a11x1 a12x2 . . . a1nxn)
a02 · (a20 a21x1 a22x2 . . . a2nxn) . . .
a0m · (am0 am1x1 am2x2 . . . amnxn).
Приведем подобные слагаемые, вынося за скобки одинаковые переменные:
F = a00 a01a10 a02a20 . . . a0mam0 |
|
|
||||||||||
x1(a01a11 a02a21 . . . a0mam1) x2(a01a12 a02a22.. . . a0mam2) |
||||||||||||
|
|
|
. . . xn(a01a1n a02a2n . . . a0mamn) = |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
= α0 α1.x1 Пα2x2 . . . αnxn, |
||||||
|
|
|
α0 = a00 a01a10 a02a20 |
. . . a0mam0 |
. |
|||||||
|
где |
α1 = a01a11 a02a21 . . .Вa0mam1 |
|
|||||||||
|
|
α2 |
= a01a12 |
|
a02a22 |
|
. . . |
|
a0mam2 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
||||
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
αn = a01a1n a02a2n . . . a0mamn |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Мы |
получили, |
что многочлен Жегалкина функции F не содержит |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
конъюнкций, то есть F L. |
|
|
|
|
|
Теорема 7.8. Число линейных функций, зависящих от n переменных, равно 2n+1, то есть
двоичным набором (α0, α1, . . . , αn) длины n + 1.
|
|
|L| = 2n+1. |
|
Барашев |
|
Доказательство. |
|
|
|
f(x) L f(x) = α0 α1x1 α2x2 . . . αnxn. |
|
Значит, |
любая линейная функция взаимнооднозначно определяется |
|
e |
Унучекe |
|
|
|
МИРЭА |
Число различных линейных функций равно количеству различных двоичных наборов длины n + 1, то есть 2n+1.
Получили:
|L| = 2n+1.
136
Теорема 7.9 (необходимое условие линейности функции). Если линейная функция f(x1, . . . , xn) отлична от константы, то количество единиц в её векторе значений равно числу нулей, то есть
|Nf | = 122n.
Доказательство. Пусть
f(x1, . . . , xn) = α0 α1x1 α2x2 . . . αnxn L.
Так как f ̸≡const, то хотя бы один из коэффициентов α1, α2, . . . , αn |
||||||
не равен нулю. Без ограничения общности будем считать,.что α1 ̸= 0, |
||||||
то есть |
f(x) = x1 α2x2 . . . αnxn α0. |
|
|
|||
|
|
|
||||
|
уравнение |
|
В |
|
|
|
Рассмотрим |
e |
|
|
|
|
. |
|
x1 α2x2 |
. . . αnxn α0 |
= 1. |
|
||
Барашев |
|
|
А |
|||
|
. |
|
||||
Очевидно, что множество решений этого уравнения совпадает с Nf . |
||||||
Это означает, что число различных решений равно количеству наборов |
||||||
в носителе функции. |
|
С |
|
|
||
|
|
|
|
|
Добавим к обеим частям уравнения выражение α2x2 . . . αnxn α0
и упростим левую часть, используя тождество |
|
|
УнучекN n−1 n. |
|
A A = 0. |
Получим: |
МИРЭА |
x1 = α2x2 . . . αnxn α0 1.
Так как значение переменной x1 однозначно определяется из данного уравнения коэффициентами α2, . . . , αn, число различных решений равно количеству двоичных наборов (α2, . . . , αn) длины n − 1. Всего таких наборов 2n−1, то есть
| |
f | = 2 = |
1 |
2 |
|
|||
2 |
Замечание 7.17. Условия теоремы являются необходимыми, но не достаточными. То есть, из того, что вектор значений функции содержит поровну нулей и единиц, не следует, что функция линейна.
137
fe1 = (1010 1010) = 1 x3 L
Например, fe2 = (0001 0111) = x2x3 x1x3 x1x2 / L , хотя число нулей и единиц в векторе значений обеих функций совпадает
(|Nf1 | = 4 = 22 = 23−1 = |Nf2 |).
Для получения многочлена Жегалкина булевых функций fe1 и fe2 мы использовали алгоритм 3 - метод треугольника (см. п. 3.5.3 на стр. 44). Выделенная в таблице колонка соответствует коэффициентам много-
члена: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x1 |
x2 |
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
П |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0 |
0 |
0 |
|
1 |
|
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
1 |
|
1 |
1 |
1 |
В |
|
|
|
|
||
|
|
1 |
.1 1 |
|
|
|
|||||||||
0 |
1 |
0 |
|
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
А |
|||
0 |
1 |
1 |
|
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||
Барашев |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||||
1 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
0 |
1 |
0 |
|
0 |
0 |
|
|
С |
|
|
|
|||
1 |
1 |
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
. |
|
||||
1 |
1 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Унучек1 1 1 0 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x1 |
x2 |
МИРЭА |
|
|||||||||||
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|||
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|||
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|||
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|||
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
В дальнейшем мы будем пользоваться следующим следствием:
Следствие 7.9.1. Если количество нулей и единиц в векторе значений функции, отличной от константы, различно, то функция нелинейна.
138
Лемма L (лемма о нелинейной функции).Из нелинейной функции f(x1, . . . , xn) путем подстановки в неё вместо переменных x1, . . . , xn функций одной переменной x, y, 0, 1, x и y можно получить одну из нелинейных функций: конъюнкцию или дизъюнкцию. Точнее, существует представление конъюнкции или дизъюнкции в виде суперпозиции констант, отрицаний и функции f.
Доказательство. Пусть f(x1, . . . , xn) / L. Это означает, что её многочлен Жегалкина содержит хотя бы одну конъюнкцию. Согласно теоре-
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||
ме Жегалкина (см. теорему 3.6) любую булеву функцию можно пред- |
|||||||||||||
ставить в виде |
|
a13x1x.3 .П. . a12:::nx1x2 · · · xn. |
|||||||||||
f(x) = |
|
|
|||||||||||
= ae0 a1x1 a2x2 . . . anxn a12x1x2 |
|||||||||||||
Так как |
f(x) нелинейна, |
хотя |
бы |
В |
|
|
|
. |
|
||||
|
один из |
коэффициентов |
|||||||||||
a12, a13, . . . , a1n, . . . , a12:::n не равен нулю. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Возьмём |
самую короткую конъюнкцию K = x |
i1 |
x |
i2 |
. . . x |
ik |
из пред- |
||||||
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ставления функции в виде многочлена Жегалкина. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
|
из f(x) |
|
Рассмотрим функцию двух переменных φ(x, y),.полученнуюА |
|||||||||||||
подстановкой: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
вместо переменной xi1 |
- функции x, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Унучек |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
вместо переменной xi2 |
- функции y, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
вместо переменных xi3 |
, xi4 , . . . , xik |
- константы 1, |
|
|
|
||||||||
|
МИРЭА |
|
|
|
|||||||||
вместо остальных переменных - константы 0. |
|
|
|
|
|||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
φ(x, y) = xi1 xi2 αxi1 βxi2 γ = xy αx βy γ, |
|
где α, β, γБарашев{0, 1} - коэффициенты, зависящие от конкретной функции f.
Все возможные функции φ(x, y) (в зависимости от значений коэффициентов α, β, γ) перечислены в следующей таблице:
139
|
|
α, β, γ |
|
φ(x, y) |
|
эквивалентные формулы |
|
|
искомая суперпозиция |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
000 |
|
xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xy |
|
|
|||||||||
|
|
001 |
|
xy 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xy |
x |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
y |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
010 |
|
xy y |
|
|
|
|
|
|
|
|
(x 1)y = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xy |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
011 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
xy y 1 |
|
(x 1)y 1 = |
|
|
|
|
= x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
xy |
y |
|
|
y |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
100 |
|
xy x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(y 1) = xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xy |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
101 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
xy x 1 |
|
x(y 1) 1 = |
|
|
|
|
= |
|
|
|
y |
|
|
|
|
y |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
xy |
x |
|
|
x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
110 |
|
xy x y |
|
|
|
|
|
|
|
|
x(y 1) y = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x y |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= x(y 1) (y 1) 1 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 = (.x П1)y 1 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= xy |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
1 = |
|
|
|
|
|
= x |
y |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
y |
x |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
111 |
|
xy x y 1 |
|
|
|
x(y 1) (y 1) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
y |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Решение.Барашевf2(xe) = (0001 0111). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= xy y =В(x 1)y = x y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
При выводе формул в таблице использовались законы де Моргана, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
двойного отрицания и логическое тождество A 1 = A (см. основные |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
эквивалентности алгебры логики в п. 2.3.6 на стр. 23). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
то к функции f2(xУнучек) можно применить лемму L. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Для каждого набора значений (α, β, γ) получилиС |
выражение функ- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ции f либо в виде конъюнкции, либо в виде дизъюнкции. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
МИРЭА |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 7.14. Выразить конъюнкцию или дизъюнкцию из функции
Так как
f2(x1, x2, x3) = (0001 0111) = x2x3 x1x3 x1x2 / L,
e
Многочлен Жегалкина функции f2 содержит 3 конъюнкции ранга 2. Поэтому можно брать любую из них, например, K1 = x2x3. В неё входят переменные x2 и x3.
Рассмотрим набор γ = (0, x2, x3), в который переменные x2 и x3 входят без изменений, а переменная x1, не вошедшая в K1, заменена на 0.
140