Краткий курс математического анализа. Том 2

16.Что называется диаметром множества? Как связаны диаметр множества с ограниченностью множества?

17.Вычислить диаметр n-мерного шара в Rn.

18.Какие последовательности называются ограниченными в Rn?

19.Каким свойством обладают ограниченные в Rn последовательности?

20.Как в Rn определяются ε-окрестности бесконечно удаленной точки?

21.Что означает, что последовательность стремится к ∞?

22.Какую подпоследовательность содержит неограниченная последовательность?

23.Какие точки называются внутренними точками данного множества?

24.Что называется внутренностью множества?

25.Какие множества называются открытыми в Rn?

26.Приведите примеры открытых множеств.

27.Что называется окрестностью (проколотой окрестностью) конечной точки, бесконечно удаленной точки?

28.Что можно сказать про объединение любой совокупности открытых множеств? Про пересечение конечной или бесконечной совокупности открытых множеств?

29.Как определяется ε-окрестность данного множества?

30.Как определяются точки прикосновения множества?

31.Какие имеются эквивалентные описания точек прикосновения множества?

32.Как определяются предельные точки множества?

33.Какие имеются эквивалентные описания предельных точек множества?

34.Как определяются изолированные точки множества?

35.Как соотносятся между собой изолированные, предельные точки и точки прикосновения множества?

36.Можно ли сказать про произвольную точку множества, что она является его точкой прикосновения?

37.Что называется замыканием множества?

38.Какие множества называются замкнутыми?

39.Будет ли замыкание произвольного множества замкнутым множеством?

40.Что можно сказать о дополнении открытых (замкнутых) множеств?

41.Какие точки называются граничными точками множества?

42.Что называется границей множества? Как можно представить замыкание множества?

43.Можно ли утверждать, что граница множества является замкнутым множеством?

44.Приведите примеры замкнутых множеств.

66.Что означает, что точка a (конечная или бесконечная) является пределом отображения в точке x(0)?

67.Дать определение предела через окрестности точек.

68.К пределу какой числовой функции сводится определение предела отображения?

69.Как связаны предел отображения с пределами координатных функций?

70.Как определяется предел отображения по множеству?

71.Как определяется предел отображения по прямой (кривой)? Что называется пределом по направлению данного вектора? Что понимается под всесторонним пределом в данной точке?

72.Как определяется предел точки по направлению, противоположному данному вектору l?

73. Что можно сказать о наличии предела в точке (0, 0) у функ-

2

ции f (x, y) = x4x+yy2 ?

74.Что можно сказать о значении предела отображения в точке, принадлежащей области ее определения? Существует ли предел отображения в изолированной точке области определения?

75.Как определяется непрерывность отображения в точке?

76.Как можно записать непрерывность отображения в точке через приращение функций?

77.Как связана непрерывность отображения в точке с непрерывностью координатных функций?

78.Как определяется непрерывность отображения по множеству в данной точке?

79.Пусть функция определена на Rn. Можно ли сказать, что она непрерывна по множеству точек с целочисленными координатами?

80.Что означает, что одно отображение является бесконечно малым при x → x(0) по сравнению с другим отображением?

81.Есть ли отличия при определении предела и непрерывности комплекснозначных отображений от случая комплекснозначных функций одной действительной переменной?

82.Какие свойства предела функций одной переменной сохраняются для отображений и функций многих переменных?

83.Какие условия достаточны для того, чтобы композиция двух отображений имела предел? Что называется формулой замены переменной для предела?

84.Что можно сказать о композиции непрерывных функций? В чем заключается перестановочность взятия непрерывной функции и операции предельного перехода?

85.Что понимается под элементарной функцией многих переменных? Что можно сказать о непрерывности элементарных функций?

105.Что означает, что функция f (x, y) равномерно стремится к нулю на множестве X при y → y(0)?

106.Как выглядит критерий равномерного стремления к нулю на множестве X функции f (x, y) в терминах поведения вспомогательной функции переменной y?

107.Как ведет себя остаточный член приращения функции, непрерывно дифференцируемой на открытом множестве?

108.Как записывается определение дифференцируемости для функции n переменных? Что называется (полным) дифференциалом функции в данной точке? Частными дифференциалами?

109.Что означает, что функция непрерывно дифференцируема на некотором множестве?

110.Какие условия достаточны для того, чтобы сложная функция f (x(u, v), y(u, v)) была диференцируемой? По каким формулам вычисляются частные производные композиции?

111.В чем заключается инвариантность формы первого дифференциала?

112.В чем заключается геометрический смысл частных производных функции? Как определяется касательная плоскость к графику функции двух переменных? В чем заключается геометрический смысл дифференциала функции двух переменных?

113.Что называется производной функции в точке по направлению данного вектора? По прямой?

114.Что называется градиентом функции в данной точке? Как связаны градиент функции и производная по направлению данного вектора?

115.Какими свойствами обладает градиент?

116.Привести пример функции, имеющей производную по любому направлению в данной точке, но не являющейся даже непрерывной в ней.

§37

117.Как определяются частные производные 2-го и более высоких порядков?

118.В каком случае смешанные частные производные совпадают?

119.Как определяются дифференциалы 2-го и более высоких порядков? Какая символическая запись используется для выражения дифференциала порядка m?

§38

120.Когда для функции двух переменных имеет место формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и Пеано? Какой

многочлен называется многочленом Тейлора порядка m данной функции в точке (x0, y0)?

121.Как выглядит формула конечных приращений Лагранжа для функций двух переменных?

§39

122.Как определяются точки локального минимума (максимума), экстремума функции?

123.В чем заключается необходимое условие локального экстремума? Какие точки называются стационарными точками функции?

124.Что означает, что квадратичная форма положительно (отрицательно) определена? Какие квадратичные формы называются знакопеременными?

125.В чем состоит достаточное условие локального экстремума?

Вкаком случае в точке нет локального экстремума?

126.Как выглядит достаточное условие локального экстремума для функций двух переменных? В каком случае локальный экстремум отсутствует?

§40

127.Что означает, что функция f (x) определяется неявно уравнением F (x, y) = 0?

128.Сформулировать условия, при которых уравнение F (x, y) = 0 с непрерывной левой частью задает единственную непрерывную неявную функцию.

129.Сформулировать условия, при которых уравнение F (x, y) = 0 задает единственную дифференцируемую функцию.

130.Как выглядит уравнение касательной прямой к кривой, заданной неявно уравнением F (x, y) = 0?

131.Сформулировать теорему о неявной функции в общем случае.

132.Что называется декартовым произведением двух множеств?

133.Привести примеры декартовых произведений множеств. Какое множество называется цилиндром?

134.Что называется матрицей Якоби и якобианом системы функций?

135.Сформулировать теорему о неявных функциях, задаваемых системой уравнений.

136.Когда отображение называется дифференцируемым в некоторой точке открытого множества? Непрерывно дифференцируемым на открытом множестве?

137.Чему равна матрица Якоби композиций отображений? Чему равен якобиан композиции отображений?

138.Как связаны якобианы взаимно обратных отображений? Чему равен якобиан обратного отображения?

139.Какие отображения называются гомеоморфными (гомеоморфизмами)? Диффеоморфными (диффеоморфизмами)?

140.Какие отображения называются локально гомеоморфными (диффеоморфными) в точке?

141.Что является образами достаточно малых по диаметру окрестностей точки x(0) при локально гомеоморфных (диффеоморфных) в этой точке отображениях?

142.Привести достаточное условие локальной диффеоморфности отображения.

143.В чем состоит принцип сохранения области?

144.Привести пример отображения с ненулевым якобианом, не являющегося взаимно однозначным.

§41

145.Что называется уравнениями связи?

146.Как определяются точки условного экстремума функции относительно уравнений связи?

147.Что называется функцией Лагранжа? Коэффициентами (множителями) Лагранжа?

148.Что можно сказать о точках условного экстремума функции f

ифункции Лагранжа?

149.Какое условие является необходимым для того, чтобы точка x(0) являлась точкой условного экстремума функции f ?

150.В чем заключается достаточное условие того, что в стационарной точке x(0) у функции Лагранжа, удовлетворяющей уравнениям связи, имеется (отсутствует) условный локальный экстремум?

§42

151.Что называется гиперплоскостью в пространстве Rn?

152.Что называется кубильяжем ранга k пространства Rn? Кубами ранга k? Что называется объемом n-мерного куба?

153.Как определяется объем множества, состоящего из некоторого конечного или бесконечного множества кубов ранга k?

154.Что называется нижней (внутренней) и соответственно верхней (внешней) мерой Жордана множества в Rn?

155.Какие множества в Rn называются измеримыми по Жордану?

Что называется n-мерной мерой (объемом) Жордана множества в Rn?

156.Может ли неограниченное множество быть измеримым по Жордану?

157.В чем заключается лемма о покрытии границы кубами ранга k?

158.В чем состоит критерий измеримости множества по Жордану?

159.Какие операции над измеримыми множествами приводят к измеримым множествам?

160.Какими свойствами обладает мера Жордана?

161.Верны ли следующие утверждения: а) всякое подмножество измеримого множества измеримо; б) всякое подмножество множества меры нуль имеет меру нуль?

186.Как выглядят формулы, выражающие тройной интеграл через повторные? n-кратный интеграл через повторные?

187.Вычислить объем n-мерного шара.

188.Зависит ли мера множества от выбора системы координат?

189.Как можно записать формулу остаточного члена в формуле Тейлора для функции одной переменной через повторные интегралы?

§44

190.Что называется линейным отображением? Матрицей линейного отображения? Определителем линейного отображения? Композицией каких отображений является линейное отображение?

191.Что называется n-мерным параллелепипедом в Rn?

192.Как связана мера множества и его образа при линейном отображении?

193.Как с использованием линейного отображения можно записать условие дифференцируемости отображения в данной точке?

194.Во что отображаются компакты меры нуль, принадлежащие открытому множеству, на котором отображение непрерывно дифференцируемо?

195.Как оценивается верхняя мера образа n-мерного куба с ребром длины h через меру самого куба при непрерывно дифференцируемом отображении с ненулевым якобианом?

196.Какими свойствами обладает взаимно однозначное непрерывно дифференцируемое отображение с ненулевым якобианом?

197.В каком случае образ открытого измеримого множества при взаимно однозначном непрерывно дифференцируемом с ненулевым якобианом является измеримым?

198.В чем состоит формула замены переменной в кратном интеграле?

199.Что означает, что непрерывное отображение непрерывно продолжаемо на замыкание этого множества?

200.Как формулируется обобщенный вариант формулы замены переменной в кратном интеграле?

201.В чем заключается геометрический смысл модуля якобиана?

202. Что называется криволинейными координатами в области из Rn? Что называется координатными кривыми?

203.Каков геометрический смысл знака якобиана при интерпретации отображения как криволинейных координат?

204.Как вводится полярная система координат? Чему равен якобиан этой замены?

205.Как вводится сферическая система координат? Чему равен якобиан этой замены?

206.Как вводится цилиндрическая система координат? Чему равен якобиан этой замены?