Краткий курс математического анализа. Том 2
.pdf390 |
Гл. 6. Гармонический анализ |
Так же, как и в предыдущей теореме, все проведенные рассуждения справедливы не только для функций, принимающих лишь действительные значения, но и для комплекснозначных функций.
§55. Обобщенные функции
55.1.Пространства D и D . Обобщенными функциями
называются линейные непрерывные числовые функции, заданные
на некотором линейном функциональном пространстве (называемом
пространством основных функций), в котором определено понятие сходимости последовательности функций.
Числовые функции, заданные на множестве функций, называются обычно, как это уже отмечалось выше, функционалами.
Линейность функционала f , заданного на некотором пространстве X основных функций, означает, что для любых функций ϕ1 X, ϕ2 X и любых чисел λ1, λ2 имеет место равенство
f (λ1ϕ1 + λ2ϕ2) = λ1f (ϕ1) + λ2f (ϕ2), |
(55.1) |
а непрерывность — что из сходимости последовательности функций ϕn X, n = 1, 2, ..., в пространстве X к функции ϕ X следует, что
lim f (ϕn) = f (ϕ).
n→∞
В качестве примера возьмем за пространство основных функций пространство RL2(a, b) функций с интегрируемым квадратом на интервале (a, b). Зафиксируем некоторую функцию f RL2(a, b) и рассмотрим порожденный ею функционал, определяемый формулой
def , , , , f (ϕ) = (f ϕ) ϕ RL2(a b)
где (f , ϕ) — почти скалярное произведение в пространстве RL2(a, b). Функционал f (ϕ) = (f , ϕ) является линейным и непрерывным, т. е.
представляет собой обобщенную функцию, заданную на RL2(a, b). По аналогии с рассмотренным примером для любой обобщенной
функции f , заданной на некотором пространстве основных функций X, будем ее значение в точке ϕ X обозначать не только посредством f (ϕ), но и посредством (f , ϕ).
Линейная комбинация для обобщенных функций определяется по общему правилу как для любых числовых функций: если f1 и f2 — обобщенные функции, а λ1 и λ2 — числа, то обобщенная функция λ1f1 + λ2f2 определяется равенством
def |
(f1, ϕ) + λ2(f2, ϕ), |
(55.2) |
(λ1f1 + λ2f2, ϕ) = λ1 |
где ϕ — произвольная функция из пространства основных функций.
§ 55. Обобщенные функции |
391 |
О п р е д е л е н и е 1. Обозначим через D пространство, состоящее из всех финитных (вообще говоря, комплекснозначных) бесконечно дифференцируемых на всей числовой оси функций (рис. 76). При этом последова- 
тельность ϕn D, n = 1, 2, ..., назовем
сходящейся к функции ϕ D, если существует отрезок [a, b], содержащий но-
сители всех функций ϕ и ϕn, n = 1, 2, ..., и такой, что для любого k = 0, 1, 2, ... по-
следовательность производных ϕ(nk), n = 1, 2, ..., сходится равномерно на отрезке [a, b] к производной ϕ(k):
ϕn(k) ϕ(k), n |
→ ∞ |
. |
[a,b] |
|
Пространство D является, очевидно, линейным пространством: если ϕ1 D и ϕ2 D, то для любых чисел λ1 и λ2 имеет место
λ1ϕ1 + λ2ϕ2 D.
Здесь и в дальнейшем в этом параграфе под функциями ϕ можно понимать либо функции, принимающие только действительные значения, т. е. ϕ: R → R, и тогда числа λ также действительные, либо функции, принимающие и комплекс-
ные значения, т. е. ϕ: R → C, тогда числа λ также могут быть комплексными.
Пр и м е р 1. Если ϕ(x) = 0 для всех x R, то ϕ D.
Пр и м е р 2. Пусть (рис. 77)
def |
e−a2 |
/(a2−x2), |
если |
x < a, |
|
ϕa = |
|
0, |
если |
|x| |
a. |
|
|
|
|
| | |
|
(55.3)
Тогда ϕa D. В самом деле, односторонние производные всех порядков справа в точке x = −a и слева в точке x = a равны нулю (см. пример в п. 32.3):
ϕ(an+)(−a) = ϕ(an−)(a) = 0.
Очевидным образом ϕ(an−)(−a) = ϕ(an−)(a) = 0, так как вне отрезка [−a, a] функция ϕa — тождественный нуль. Поэтому функция ϕa бесконечно дифференцируема на всей числовой оси, причем из supp ϕa = [−a, a] следует, что функция ϕa финитная, а поэтому ϕa D.
О п р е д е л е н и е 2. Всякий линейный непрерывный функцио-
нал f , заданный на пространстве D, т. е. f : D → R (или, более общо, f : D → C), называется обобщенной функцией на D.
392 |
Гл. 6. Гармонический анализ |
Множество всех обобщенных функций в этом случае обозначается D . Значение обобщенной функции f D на основной функции
ϕD, согласно сделанному выше замечанию, обозначатся (f , ϕ).
Пр и м е р 3. Функция f , заданная на всей числовой оси и абсолютно интегрируемая на любом конечном отрезке (такие функции, как мы знаем, называются локально абсолютно интегрируемыми; см. п. 54.2), порождает обобщенную функцию, значение которой на любой основной функции ϕ D задается формулой
+∞ |
|
(f , ϕ) = f (x)ϕ(x) dx, ϕ D. |
(55.4) |
−∞
Это определение корректно в том смысле, что интеграл, стоящий в правой части равенства, существует. Действительно, для каждой функции ϕ D существует отрезок [a, b], содержащий носитель функции ϕ. Поэтому
+∞ |
b |
|
f (x)ϕ(x) dx = |
f (x)ϕ(x) dx. |
(55.5) |
−∞ |
a |
|
Функция ϕ, будучи непрерывной на отрезке [a, b], ограничена на нем, т. е. существует такая постоянная c > 0, что для всех x [a, b] имеет место неравенство |ϕ(x)| c, а следовательно, и неравенство
|f (x)ϕ(x)| c|f (x)|.
По условию функция f локально абсолютно интегрируема, поэто-
b
му интеграл |f (x)| dx конечен, а тогда по признаку сравнения коне-
a
b
чен и интеграл |f (x)ϕ(x)| dx. Это означает абсолютную сходимость
интеграла a
b |
+∞ |
f (x)ϕ(x) dx = |
f (x)ϕ(x) dx. |
a−∞
Исходя из свойств интеграла, нетрудно проверить, что функционал, заданный формулой (55.4), является линейным и непрерывным на D.
Таким образом, всякую локально абсолютно интегрируемую функцию можно рассматривать как обобщенную функцию. Иначе говоря, каждая обычная локально абсолютно интегрируемая функция является и обобщенной функцией.
§ 55. Обобщенные функции |
393 |
П р и м е р 4. Рассмотрим на D функционал, обозначаемый символом δ и задаваемый формулой
(δ, ϕ) = ϕ(0), ϕ D. |
(55.6) |
Этот функционал называется δ-функцией или функцией Дирака. Его линейность и непрерывность на пространстве D легко проверяются. Докажем, что δ-функцию нельзя представить в виде (55.4) ни при какой локально абсолютно интегрируемой функции f.
Действительно, если существует такая локально абсолютно интегрируемая функция f , что для любой функции ϕ D имеет место равенство
|
|
|
|
|
(δ, ϕ) = |
+∞ |
f (x)ϕ(x) dx, |
|
|
|
|
|
(55.7) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
т. е. |
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
f (x)ϕ(x) dx = ϕ(0), |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
то для функции ϕa (см. (55.3)) будем иметь |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x)ϕa(x) dx = ϕa(0) = |
|
. |
|
(55.8) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(55.3) e |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В силу локальной абсолютной интегрируемости функции f |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|f (x)| dx = |
0 |
|
|
|
|
|
55 9 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
a 0 |
|
|
|
|
|
|
|
( . ) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
→ |
−a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(почему?). Заметив, далее, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
ϕa(x) = e−a2/(a2−x2) |
1 |
, x (−a, a), |
(55.10) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
e |
||||||||||||||||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
|
|
+∞ |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
a | |
|
|| |
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
e (55.8) |
|
|
(55.3) |
|
|
a |
(55.10) |
|
||||||||||||
|
|
= |
|
|
f (x)ϕa(x) dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
−∞ |
|
|
|
− |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) dx |
|
0 при |
a 0, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(55.10) |
|
|
| | |
( |
|
→. ) |
→ |
|||||
−a
что противоречит тому, что левая часть равна положительной постоянной 1e . Итак, δ-функция не представима в виде (55.7). В этом смысле δ-функция является примером обобщенной функции, не являющейся
396 |
Гл. 6. Гармонический анализ |
ибо ϕ(+∞) = 0. Поскольку полученное равенство имеет место для любой основной функции ϕ D, то из него следует, что
θ = δ. |
(55.16) |
Всмысле обычной производной при любом x = 0 имеет место
θ(x) = 0, а при x = 0 производная функции θ(x) бесконечна: θ (0) =
= +∞. Поэтому, согласно равенству (55.16), иногда говорят, что функция δ равна всюду на числовой оси нулю, кроме точки x = 0, где она равна +∞. Хотя это высказывание не является логически строгим, так как функция Дирака δ не есть обычная функция, и поэтому нельзя говорить о ее значениях в отдельных точках, оно бывает иногда удобным при правдоподобных рассуждениях.
О п р е д е л е н и е 4. |
Последовательность |
обобщенных функций |
|
fn D , |
n = 1, 2, ..., |
называется сходящейся к обобщенной функ- |
|
ции f D , |
если для любой основной функции ϕ D выполняется |
||
равенство |
|
lim (fn, ϕ) = (f , ϕ). |
(55.17) |
|
|
||
|
|
n→∞ |
|
П р и м е р 3. В пространстве обобщенных функций D имеет место
равенство
lim sin nx = 0.
n→∞
Действительно, каждая функция ϕ пространства основных функций D, очевидно, абсолютно интегрируема на всей числовой оси, поэтому, согласно теореме Римана (см. п. 51.3, теорему 3), имеем
lim (sin nx, ϕ) |
+∞ |
= lim ϕ(x) sin nx dx = 0. |
|
n→∞ |
(55.4) n→∞ |
|
−∞ |
Те о р е м а 1. Если lim fn = f в D , то для любого натурально- |
||
n→∞ |
|
|
го k имеет место равенство |
|
|
|
lim f (k) = f (k). |
(55.18) |
n→∞ n |
|
|
С л е д с т в и е. Если f = |
∞ |
|
fn в D , то для любого натурального k |
||
имеет место равенство |
n=1 |
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
f (k) = f (k). |
(55.19) |
|
n |
|
n=1
Иначе говоря, сходящиеся ряды обобщенных функций можно почленно дифференцировать любое число раз. Следовательно, в смысле обобщенных производных можно сколько угодно раз почленно дифференцировать сходящиеся в среднем ряды и обычных
398 Гл. 6. Гармонический анализ
Наоборот, если выполнено условие (55.20), то функция xkϕ(m)(x), имея конечный предел в бесконечно удаленной точке ∞, будет ограничена на некоторой ее окрестности U (∞) = {x: |x| > a > 0}. Будучи же непрерывной, функция xkϕ(m)(x) ограничена и на отрезке [−a, a] = = R \ U (∞). Таким образом, функция xkϕ(m)(x) ограничена на всей числовой прямой R, и, следовательно, для нее существует постоянная ck,m, удовлетворяющая условию (55.22).
Заметим теперь, что если ϕ S, то для любого неотрицательного целого k функция xkϕ(x) абсолютно интегрируема на всей числовой оси. Это следует из того, что функция xkϕ(x) стремится к нулю при x → ∞ быстрее любой степени функции x−1.
В самом деле, если ϕ S, то
|xkϕ(x)| (55.22) ck,0, |
|
x2|xkϕ(x)| = |xk+2ϕ(x)| (55.22) ck+2,0. |
||||||
Сложив эти неравенства, получим |
|
|
||||||
(1 + x2)|xkϕ(x)| ck,0 + ck+2,0 |
||||||||
и, следовательно, |
k |
ϕ(x)| |
|
ck,0 + ck+2,0 |
, |
|||
|x |
|
|||||||
|
|
(1 + x2) |
||||||
а поскольку интеграл |
|
+∞ |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
dx |
= π |
(55.23) |
|||
|
|
|
|
2 |
||||
|
|
|
1 + x |
|
|
|||
|
|
−∞ |
|
|
|
|
||
сходится, то сходится и интеграл |
+∞ |
|xkϕ(x)| dx. |
||||||
−∞ |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||
В силу абсолютной интегрируемости функции xkϕ(x), ϕ S, на всей числовой оси для нее определено как прямое преобразование Фурье F xkϕ(x), так и обратное F −1xkϕ(x) (см. п. 54.3).
Т е о р е м а 2. Преобразование Фурье и обратное преобразование Фурье отображают пространство S линейно, непрерывно и взаимно однозначно на себя.
Иначе говоря, как преобразование Фурье, так и обратное преобразование Фурье являются линейной биекцией S на S.
Прежде всего, отметим, что линейность и взаимная однозначность (инъективность) преобразования Фурье и обратного преобразования Фурье уже доказаны раньше (см. п. 54.3).
Покажем, что преобразование Фурье F отображает S в S. Для этого сначала заметим, что при любом k = 0, 1, 2, ... функция xkϕ(x) непрерывна и абсолютно интегрируема на R, а следовательно, функция F (xkϕ(x)) бесконечно дифференцируема на всей числовой оси (см. теорему 4 в п. 54.4).
