Краткий курс математического анализа. Том 2

Л е м м а 4. Если X — полунормированное пространство, xn X, n = 1, 2, ..., и

С л е д с т в и е. В нормированном пространстве у последовательности может существовать только единственный предел.

Д о к а з а т е л ь с т в о л е м м ы. Если имеют место равенства (52.19) и (52.20), то, заметив, что

x − y x − xn + xn − y ,

и перейдя в этом неравенстве к пределу при n → ∞, в силу равенства

получим x − y = 0.

Если X — нормированное пространство, то равенство (52.21) равносильно равенству x = y (свойство 4◦) нормы).

Наглядно неединственность предела в полунормированных пространствах можно проиллюстрировать на примере пространства RL[a, b], где (a, b) — конечный интервал: последовательность функций

fn(x) = n1 , a < x < b, n = 1, 2, ..., сходится по полунорме этого

пространства, и ее пределами являются, например, функции f (x) ≡ 0 на отрезке [a, b] и функция g: g(x) = 0 при a < x < b, x = x0 (a, b),

иg(x0) = 1.

Оп р е д е л е н и е 13. Подмножество E полунормированного (нормированного) пространства X называется ограниченным, если суще-

ствует такая постоянная c > 0, что для всех x E выполняется неравенство

иначе говоря, если множество полунорм элементов из E является ограниченным числовым множеством.

324 Гл. 6. Гармонический анализ

фундаментальной, а следовательно, и сходящейся, т. е. существует

предельным переходом, исходя из соответствующих свойств нормы

x , x X.

З а м е ч а н и е. Как и в случае метрических пространств пополнение нормированных пространств неединственно. При этом все эти пополнения не только изометричны, но и изоморфны между собой как нормированные пространства (доказывать это не будем).

52.4. Гильбертовы пространства. Рассмотрим пространства, являющиеся обобщением n-мерных векторных арифметических евклидовых пространств (см. п. 33.1). В основном будут рассматриваться действительные линейные пространства, случай комплексных линейных пространств будет специально оговариваться.

О п р е д е л е н и е 17. Пусть X — линейное пространство. Числовая функция, обычно обозначаемая (x, y), x X, y X, заданная

на множестве упорядоченных пар точек пространства X, называется

скалярным произведением, если для любых точек x X, y X, z X

и любых чисел λ R, μ R выполняются следующие условия: 1◦) (коммутативность) (x, y) = (y, x);

2◦) (линейность) (λx + μy, z) = λ(x, y) + μ(y, z); 3◦) (x, x) 0;

4◦) если (x, x) = 0, то x = 0.

Функция (x, y), удовлетворяющая условиям 1◦)–3◦), называется почти скалярным произведением. Очевидно, что скалярное произве-

дение является и почти скалярным.

Два пространства X и X со скалярным (почти скалярным) произведением называются изоморфными, если существует изоморфное

отображение (изоморфизм) f : X → X линейных пространств X и X , сохраняющее скалярное (почти скалярное) произведение, т. е. для любых чисел x, y X выполняется равенство (f (x), f (y)) = (x, y).

Л е м м а 7. Если (x, y) — почти скалярное произведение в линейном пространстве X, то для любых x X и y X выполняется

Если x = 0, y = 0, то по аналогии с конечномерным случаем косинус угла ϕ = xy, между векторами x X и y X линейного пространства X со скалярным произведением определяется равенством

(x, y) , cos ϕ = x y

а сам угол ϕ определяется этим значением косинуса. Таким образом, в этом случае

(x, y) = x y cos ϕ.

Если e X, e = 1, то вектор x = (x, e)e называется проекцией вектора x на прямую y = te, −∞ < t < +∞, а число

(x, e) = x cos xe,

—величиной этой проекции.

Пр и м е р 1. Множество действительных чисел R является про-

странством со скалярным произведением, если под скалярным произведением (x, y) чисел x и y понимать их обычное произведение:

(x, y) = xy.

Пр и м е р 2. В арифметическом действительном линейном n-мер- ном пространстве Rn функция

является скалярным произведением.

Конечномерное линейное пространство со скалярным произведением называется евклидовым пространством.

П р и м е р 3. Обозначим через RL2 = RL2(a, b) множество функций f , заданных на некотором конечном или бесконечном интервале (a, b), −∞ a < b +∞, для каждой из которых существует

b

правильное разбиение (п. 51.1) этого интервала и интеграл f 2(x) dx

Легко проверить, что множество RL2(a, b) является линейным пространством. Докажем, что функционал

a

является почти скалярным произведением.

Прежде всего, если f RL2(a, b) и g RL2(a, b), то в силу числового неравенства

|αβ| α2 +2 β2 , α R, β R,

для любой точки x (a, b), в которой определены функции f и g, выполняется неравенство

|f (x)g(x)| 12 (f 2(x) + g2(x)),

а поэтому, согласно признаку сравнения для сходимости интегралов,

(и даже абсолютная) интеграла f (x)g(x) dx. Таким образом, опреде-

a

ление (52.29) имеет смысл. Свойства почти скалярного произведения следуют в этом случае из свойств интеграла. Аналогично тому, как это было сделано в примере 6 п. 52.3 для пространства RL(a, b), нетрудно показать, что полунорма

не является нормой на пространстве RL2(a, b) и, следовательно, почти скалярное произведение (52.29) не есть скалярное произведение в этом пространстве. Действительно, для функции f , равной тождественно

нулю на всей числовой оси, кроме одной точки x0, a < x0 < b, в ко-

b

торой f (x0) = 1, будем иметь f 2 = (f , f ) = f 2(x) dx = 0, а вместе

a

с тем функция f не является нулем в пространстве RL2(a, b). Отметим, что неравенство Коши–Буняковского в пространстве

328 Гл. 6. Гармонический анализ

a

(52.30) — нормой (это доказывается аналогично тому, как это делалось в примере 7 п. 52.3 для пространства CL(a, b)).

Зафиксируем теперь некоторый конечный или бесконечный интервал (a, b), −∞ a < b +∞, и рассмотрим на множестве всех

Как мы знаем (пример 5 из п. 52.3), этот функционал на пространстве B(a, b) всех ограниченных на интервале (a, b) функций является нормой, а для любой неограниченной на (a, b) функции f , очевидно,

f ∞ = +∞.

Для функций f , для которых f ∞ < +∞, т. е. для функций fB(a, b), норма f ∞, как мы знаем, называется равномерной нормой (см. пример 5 в п. 52.3). Сходимость по равномерной норме является равномерной сходимостью (см. п. 52.1).

Рассмотрим далее множество функций, заданных на интервале (a, b), для каждой из которых существует правильное разбиение, и на этом множестве функционалы

Выше было показано, что функционал (52.33) является полунормой в пространстве RL(a, b) и нормой в CL(a, b) (см. примеры 6 и 7 в п. 52.3). Заметим, что пространства RL(a, b) и CL(a, b) обозначаются так же: соответственно RL1(a, b) и CL1(a, b).

Функционал (52.34) является полунормой в пространстве RL2(a, b) и нормой в CL2(a, b) (пример 3 в этом пункте). Если же функция f не принадлежит пространству RL1(a, b), но для нее существует правильное разбиение интервала (a, b), то f 1 = +∞, а если не принадле-

жит RL2(a, b), то f 2 = +∞.

Сходимость последовательности функций по полунорме (52.33) называется сходимостью в среднем, а сходимость по полунорме (52.34) — сходимостью в смысле среднего квадратичного.

Вдальнейшем, когда речь будет идти о функционалах (52.33)

и(52.34), всегда будет предполагаться, что рассматриваются функ-

ции, для которых существуют правильные разбиения интервала (a, b), и это не будет специально оговариваться.

Нижеследующая лемма устанавливает соотношения между функ-

С л е д с т в и е. Если последовательность функций равномерно сходится на конечном интервале к некоторой функции, то она сходится к этой функции на том же интервале и в смысле среднего квадратичного, а если последовательность функций сходится на конечном интервале в смысле среднего квадратичного к некоторой функции, то она сходится и в среднем к той же функции.

Докажем неравенство (52.35). Пусть f RL2(a, b). Поскольку 1 RL2(a, b), то в силу неравенства Коши–Буняковского (см. (52.31) при g(x) ≡ 1) получим

Если же f RL2(a, b), то f 2 = +∞, и неравенство (52.35) очевидно. Докажем теперь неравенства (52.36). Пусть f B(a, b); тогда

З а м е ч а н и е 1. В лемме 8 является существенным условием то, что рассматриваемый промежуток ограничен. Для неограниченных промежутков полунорма f 1 не оценивается через полунорму f 2, которая, в свою очередь, не оценивается через норму f ∞. Не имеет места и аналог следствия из леммы: последовательность функций