киб_3_семестр_дифгем_лекции

O. Второй фундаментальной формой гиперповерхности f : U ! Rn+1 â ò. p 2 U

называется билинейная форма IIp(X; Y ), определенная в касательном пространстве Tpf:

8X; Y 2 Tpf IIp(X; Y ) = hLp(X); Y i:

(Билинейность обеспечивается линейностью оператора Lp.) Матрица второй фундаментальной формы:

IIp(X; Y ) = IIp(xifu0i; yjfu0j ) = xiyjIIp(fu0i; fu0j ) = xiyjhij;

где мы ввели обозначение

hij = IIp(fu0i; fu0j ) = hLp(fu0i); fu0j i = hNu0 i; fu0j i:

Ë10

Òàê êàê ~ ? , òî h ~ 0 i . Дифференцируя, имеем h 0 0 i h 00 i

N Tpf N; fuj = 0 Nui; fuj + N; fuiuj = 0, и получаем второй способ нахождения hij:

hij = hNu0 i; fu0j i = hN; fu00iuj i: ( )

T. Для гиперповерхности f : U ! Rn+1:

1)вторая фундаментальная форма IIp(X; Y ) симметрична,

2)основной оператор гиперповерхности Lp самосопряженный.

Доказательство.

1) Ò.ê. fu00iuj = fu00jui, то согласно ( )

hij = hNu0 i; fu0j i = hN; fu00juii = hN; fu00iuj i = hNu0 j ; fu0ii = hji, ò.å. IIp(X; Y ) = IIp(Y; X). 2) Самосопряженный (симметричный) оператор: 8X; Y 2 Tpf : hLp(X); Y i = hX; Lp(Y )i:

hLp(X); Y i = IIp(X; Y ) = IIp(Y; X) = hLp(Y ); Xi = hX; Lp(Y )i.

Следствия.

1)Все собственные значения Lp вещественны.

2)Â Tpf существует ортонормированный базис из собственных векторов Lp.

Вычислительная формула для hij:

7. Матрица основного оператора гиперповерхности. Кривизны и главные направления. Линии кривизны.

T. В стандартном базисе fu01 ; : : : ; fu0n касательного пространства Tpf матрица оператора

Lp имеет вид:

[Lp] = [gij] 1[hij]:

Доказательство. Пусть [Lp] = [aij], ò.å. Lp(fu0i) = aki fu0k (по определению, i-й столбец есть результат действия оператора на i-й базисный вектор).

hij = hLp(fu0i); fu0j i = haki fu0k ; fu0j i = aki hfu0k ; fu0j i = aki gkj, откуда, в силу симметричности gij

31

è hij, hji = gjkaki , или в матричной форме [h] = [g][Lp], [Lp] = [g] 1[h].

O. Пусть f : U ! Rn+1 гиперповерхность, Lp : Tpf ! Tpf ее основной оператор.

нормальный вектор из базиса Френе, базис Tp . Lp( ) = = k , т.к., согласно уравнению Френе = k . Собственное значение k оператора Lp это кривизна гипер- поверхности.

нулевой оператор.

3) Цилиндр f(u; v) = (R cos v; R sin v; u)T . Вектора стандартного базиса касательного

пространства fu0 (u; v) = (0; 0; 1)T , fv0(u; v) = ( R sin v; R cos v; 0)T , вторые производные fuu00 (u; v) = fuv00 (u; v) = (0; 0; 0)T , fvv00 (u; v) = ( R cos v; R sin v; 0)T . По формулам находим

матрицу основного оператора гиперповерхности Lp:

вектора стандартного базиса fu0 ; fv0. Откуда заключаем, что главные кривизны k1 = 0 (â направлении касательного вектора fu0 (u; v) = (0; 0; 1)) è k2 = 1=R (в направлении касательного вектора fv0(u; v) = ( R sin v; R cos v; 0)). Действительно, двигаясь по поверхности

цилиндра вдоль его оси, мы двигаемся по прямой (нулевая кривизна), а перпендикулярно оси по окружности радиуса R (кривизна 1=R).

4) Сфера. Для сферы радиуса R кривизны k1 = k2 = 1=R, матрица [Lp] кратна еди-

K = k1k2, 2H = k1 + k2 , k2 2Hk + K = 0, ò.å. k1; k2 решения этого квадратного уравнения.

O. Кривая вдоль гиперповерхности f : U ! Rn+1 называется линией кривизны, если в каждой ее точке касательный вектор является главным направлением.

32

Касательные к линии кривизны это собственные вектора оператора Lp. Линии кривизны всегда образуют на поверхности ортогональную сеть, т.к. главные направления ортогональны друг другу.

Как выглядит матрица второй фундаментальной формы в ортогональном или ортонормированном собственном базисе ~e1; : : : ; ~en оператора Lp? В собственном Lp

hij = hLp~ei; ~eji = hki~ei;~eji = kih~ei; ~eji = kigij

Матрица первой фундаментальной формы в ортогональном базисе диагональна,

а в ортонормированном базисе gij = ij, ò.å. [gij] - единичная матрица. Соответственно, в ортогональном собственном базисе оператора Lp hij = kigii ij, в ортонормированном

hij = ki ij = (Lp)ij.

8. Локальное строение гиперповерхностей

Ë11

Здесь мы рассмотрим устройство гиперповерхности в окрестности некоторой своей точ- ки p. Для этого мы перейдем к собственному базису оператора Lp в этой точке.

T. Пусть f : U ! Rn+1 гиперповерхность, k1; : : : ; kn главные нормальные кривиз-

Доказательство. Рассмотрим собственный ортонормированный базис оператора Lp êàñà- тельного пространства в т. p 2 U. Это базис из векторов ei, задающих главные направ-

~

ления в этой точке, Lpei = kiei. Соответственно, e1; : : : ; en; N базис всего пространства Rn+1. Начало отсчета расположим в т. p.

Пусть в указанном базисе поверхность задана как

f(u) = (f1(u); : : : ; fn(u); fn+1(u))T :

Дифференцируем в т. p 2 U:

fu0i(p) = (fu1i0(p); : : : ; funi0(p); funi+10(p))T :

что матрица Якоби [f0(p)], rang[f0(p)] = n, имеет нулевую n + 1-ю строку, а следовательно минор из первых n строк не нулевой. Рассмотрим отображение

u = (u1; :::; un)T ! (f1(u); : : : ; fn(u))T = (x1; : : : ; xn)T = x: ( )

Так как ранг его матрицы Якоби равен n, то это замена параметров. Обозначим диф-

i поверхность задается как феоморфизм, обратный ( ), как , x ! u. В координатах x

f~(x) = (x1; : : : ; xn; '(x)); ãäå '(x) = fn+1( (x)) = fn+1(u): ( )

Итак, мы представили (в собственном ортонормированном базисе Lp) поверхность вокруг исследуемой точки как график функции '(x). В частности, при n = 2 f~(x; y) = (x; y; z =

'(x; y)).

33

Разложим '(x) в ряд Тейлора.

'(0) = fn+1( (0)) = fn+1(p) = 0, т.к. перенесли начало координат в т.p.

h ~ ~00 i 00

hij = N; fxixj = 'xixj (0) = ki ij (ò.ê. [hij] в собственном базисе оператора Lp диагональна).

Окончательно получим:

'(x) = 12 Xki(xi)2 + o(jxj2):

i

Рассмотрим подробно двумерный случай f : U R2 ! R3,

z= '(x) = 12(k1x2 + k2y2) + o(x2 + y2):

Âэтом случае знания полной и средней кривизн достаточно для определения главных кривизн k1 è k2. В зависимости от значений K и H имеется 4 типа точек.

1)K > 0 (k1 è k2 одного знака) эллиптический параболоид. Поверхность загибается по главным направлениям в одну и ту же сторону (относительно касательной плоскости): точки, близкие к точке p, лежат по одну сторону от касательной плоскости.

Эллиптическая точка.

2) K < 0 (k1 è k2 разных знака) гиперболический параболоид (седло). Поверхность загибается по главным направлениям в разные стороны; точки, близкие к точке p, лежат по разные стороны от касательной плоскости.

Гиперболическая точка.

3) K = 0, H 6= 0 параболический цилиндр (поверхность искривлена только в одном направлении).

Параболическая точка.

4) K = 0, H = 0 точка уплощения.

Локальная структура этой точки не является квадратичной!

Пример. Обезьянье седло (Monkey Saddle): '(x; y) = Re(x + iy)3 = x3 3xy2.

Какого типа должны быть точки на гиперповерхности, чтобы она являлась плоскостью или сферой?

O. Точка f(p) на гиперповерхности называется омбилической, когда в ней выполняется одно из трех эквивалентных требований:

1)k1 = k2 = = kn все нормальные кривизны равны;

2)Lp скалярный оператор, Lp = k(p) I;

3)все ненулевые вектора из касательного пространства Tpf являются главными направ-

лениями.

Теорема(б/д). Если n 2, область U Rn односвязна и у гиперповерхности f : U ! Rn+1 все точки омбилические, то образ f(U):

плоскость или ее часть (k = 0)

сфера или ее часть (k 6= 0)

9. Нормальная кривизна. Асимптотические линии

34

Ë12

Выше мы рассмотрели кривизны, отвечающие главным направлениям (собственным векторам оператора Lp). Здесь мы рассмотрим задачу о нахождении кривизны в произ-

вольном направлении вдоль гиперповерхности.

Утверждение (б/д). Пусть (t) кривая вдоль гиперповерхности f : U ! Rn+1 è(t0) = f(p), тогда

Ðèñ. 10.

Теорема Менье. Пусть (t) кривая вдоль гиперповерхности f : U ! R3, (t0) =

~

f(p) и угол между векторами N(p) и ~(t0) (ðèñ.10a). Тогда

k cos = IIp( ; ); Ip( ; )

где k кривизна кривой (t) при t = t0.

h ~ i hj j j j _ ~ i j j2 h ~ i

Доказательство. IIp( ; ) = •; N = ~ + ~; N = k ~; N = Ip( ; )k cos .

Нормальная плоскость к гиперповерхности это плоскость, натянутая на вектор ~ N

и некоторый касательный вектор X из Tpf (ðèñ.10b).

Кривая (t), являющаяся пересечением f(U) и некоторой нормальной плоскости гипер- поверхности f : U ! R3, называется нормальным сечением. Для нормального сечения

~ ~ = N,

k = IIp( ; ):

Нормальной кривизной гиперповерхности f : U ! Rn+1 в точке p 2 U в направлении вектора X 2 Tpf называется число

kN (X) = IIp(X; X): Ip(X; X)

Åñëè Xi главное направление, то kN (Xi) = ki. Действительно,

35

T. (б/д) Пусть X1 : : : Xn 2 Tpf ортонормированный базис из главных направлений гиперповерхности f : U ! Rn+1, k1 : : : kn главные нормальные кривизны. Пусть X 2 Tpf

ненулевой вектор, образующий углы 1; : : : ; n ñ X1 : : : Xn соответственно. Тогда

n

X

kN (X) = ki cos2 i

i=1

вектор X является асимптотическим , IIp(X; X) = 0.

Кривая (t) : I ! f(U) вдоль гиперповерхности f : U ! Rn+1, называется асимп- тотической, если для любого t 2 I ее касательный вектор (t) асимптотический. Лю-

бая прямая, лежащая на гиперповерхности, является асимптотической линией. Обратное неверно (контрпример асимптотические линии на торе).

Теорема Бонне(б/д). Всякая гиперповерхность однозначно (с точностью до изометрии объемлющего пространства) определяется своими I и II фундаментальными формами.

36

ГЛАВА 4. ТЕНЗОРЫ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ ( - версия)

1. Верхние и нижние индексы, законы преобразования.

Запишем разложение вектора ~x по базису ~e1; : : : ; ~en:

~x = xi~ei = [~e1 : : : ~en][x1 : : : xn]T :

Здесь базисные векторы имеют нижние индексы, а координаты верхние. Это связано с

различными законами преобразования при замене базиса. Если элементы базиса преобразуются с помощью матрицы перехода P , [e01 : : : e0n] = [e1 : : : en]P , то координаты, записы-

ваемые в столбец X = [x1 : : : xn]T , с помощью обратной матрицы P 1, X0 = P 1X.

Итак, векторы ~ei с нижними индексами преобразуются с помощью матрицы P , а их координаты xi с верхними матрицы P 1.

Раньше, в курсах линейной алгебры и дифференциальной геометрии, мы уже встре- чались с различными величинами, имеющими не только 1 (как координаты вектора), но

индекс. Это связано с законом преобразования A0 = P 1AP .

2. Билинейная форма A(~x; ~y) = aijxiyj ставит в соответствие число 2 векторам. Элементы ее матрицы aij имеют два нижних индекса, A0 = P T AP .

Перечисленные выше величины представляют собой примеры тензоров первого и второго ранга. Определение тензора можно дать как с помощью закона преобразования его компонент при замене базиса, так и не прибегая к его покомпонентной записи. Ниже мы пойдем по второму пути.

2. Определение тензора. Тензорное произведение.

Î. Пусть V линейное пространство. Отображение : V ! R называется линейным функционалом (линейной формой) на V, если 8x1; x2 2 V è 1; 2 2 R:

( 1x1 + 2x2) = 1 (x1) + 2 (x2)

Для произвольного вектора ~x получим (~x) = (xi~ei) = xi (e~i). Таким образом, линейный функционал определяется своими значениями на базисных векторах; полагая i = (e~i) 2 R, получим

(~x) = ixi = [ 1 : : : n][x1 : : : xn]T :

Из этой записи видно, что в отличие от вектора-столбца, линейный функционал естественно представлять строкой.

Линейные функционалы можно складывать и умножать на число. Прямой проверкой нетрудно убедиться, что множество всех линейных функционалов на V также является линейным пространством. Оно обозначается как V и называется дуальным к V , dim V = dim V . Элементы этого пространства имеют много названий ковекторы (сокра-

щение от ковариантного вектора), линейные формы, 1-формы, линейные функционалы, употребляемых разными авторами в зависимости от контекста, традиций и собственного вкуса.

37

Пример ковектора (линейной формы, или один-формы) это градиент скалярного поля

grad (u) = [@@u(u1 ) ; : : : ; @@u(nu) ]. Производная скалярного поля (u) по направлению сопоставляет каждому направлению (вектору) ~x = xi~ei число rx (u),

rx (u) = (grad (u))i xi = @@u(ui )xi;

Т.о., grad (u) ковектор, и закон преобразования его компонент (координат) (grad (u))i при замене базиса отличен от закона преобразования компонент вектора xi эти компо-

ненты имеют нижний индекс.

Другой пример ковектора (1-формы) хорошо известен нам из алгебры матриц. Если считать векторами столбцы, то строки будут являться ковекторами: если их перемножить

(строка на столбец), то получится число.

Пусть V пространство столбцов, V пространство строк; элементы V

торы (ковариантные векторы), преобразуются так же, как и базис ~ei в V (преобразуются

с помощью P); элементы V векторы (контравариантные векторы) (преобразуются с помощью P 1).

Подчеркнем, что вектора и ковектора это элементы различных пространств, и их нельзя, например, складывать друг с другом (как нельзя складывать столбцы со строками). Для этого надо вводить некоторое специальное правило, ставящее в соответствие каждому вектору ковектор и наоборот.

Ë13

O. Тензором типа (p; q) называется полилинейная (т.е. линейная по каждому аргументу) функция, аргументами которой служат p ковекторов (один-форм) и q векторов, а

значениями вещественные числа.

Компоненты тензора это его значения на базисных векторах и 1-формах. Компоненты тензора типа (p; q) имеют p верхних и q нижних индексов.

Ранг тензора типа (p; q) равен p + q.

скаляр (0,0) вектор (1,0)

ковектор (линейная форма) (0,1) билинейная форма (0,2) линейный оператор (1,1)

Как геометрический объект, тензор не зависит от выбора базиса, от выбора базиса зависят его компоненты. (В этом смысле, ситуация полностью аналогична вектору сам по себе вектор от выбора базиса не зависит, зависят его координаты.)

Тензорное поле это отображение, которое каждой точке рассматриваемого пространства ставит в соответствие тензор.

Определение тензора может быть дано и на основе понятия тензорного произведения. Прямое или декартово произведение множеств X Y множество, элементами

которого являются всевозможные упорядоченные пары этих множеств (x; y); x 2 X; y 2 Y . Декартова степень множества: Xn = X X X n-кратное прямое произве-

дение.

Если прямое произведение определено для произвольных множеств, то тензорное произведение это операция над определенными множествами линейными пространствами и их элементами.

Î. Пусть U и V векторные пространства над полем R; dim U = n; dim V = m. Пусть (a1 : : : an) базис в U, (b1 : : : bm) базис в V.

38

Декартово (прямое) произведение векторных пространств это множество упорядоченных пар: U V = f(x; y) : x 2 U; y 2 V g

Тензорное произведение U V :

перехода, то для базиса тензорного произведения имеем ai0 bj0 = aii0 bjj0 (ai bj) = aii0 bjj0 fij =

fi00 j0 .

Любой элемент T = pijfij 2 U V является тензором.

Компоненты, или координаты тензора pij при замене базиса преобразуются по закону pi0 j0 = aii0 bjj0pij, ãäå aii0 è bjj0 элементы матриц, обратных к [aii0 ] è [bjj0].

Так же как и вектор x = xie~i, тензор T = pijfij от выбора системы координат не зависит.

Мы рассмотрели тензоры второго ранга, базисы и компоненты (координаты) которых записываются в виде матриц. Нетрудно построить и тензоры более высокого ранга; их можно себе представить как многомерную таблицу. Пусть dim U = dim V = dim W = n;

элементы базиса fijk тензорного произведения a b c можно записать в виде трехмерной таблицы n n n; они преобразуются по формуле

fi00 j0 k0 = aii0 bjj0 ckk0 fijk:

Рассмотрим тензорное произведение T (V ) = ( pV ) ( qV ) p экземпляров пространства V и q экземпляров пространства V . Тензор T 2 T (V ) элемент тензорного про-

изведения T (V ) это p раз контравариантный, q раз ковариантный тензор типа (p; q) с

компонентами (координатами) T i1:::ip p верхних и q нижних индексов. j1:::jq , имеющими

Примеры из физики.

1. Тензор электромагнитного поля Fik = @A@xik @A@xki , ãäå Ai = ['; A1; A2; A3] потенциалы поля. Это антисимметричный тензор 2-го ранга,

0E1 E2 E3

ãäå Ek; Hk компоненты напряженностей электрического и магнитного полей.

2. Тензор момента инерции твердого тела. Для N материальных точек массы m ñ координатами xi( )

39

Тензор инерции Aij величина, связывающая момент импульса твердого тела (и кинетиче- скую энергию его вращения) с его угловой скоростью !~ (направление вектора !~ задает ось

вращения, а j!~j абсолютную величину угловой скорости): Li = Aij!i, Ekin = 12 Aij!i!j. Это симметричный тензор, и как и любой симметричный тензор, его можно диагонализовать (т.е. перейти в систему отсчета, где матрица Aij диагональна).

3. Тензоры напряжений и деформаций упругой среды. Тензор деформаций симметри- чен, причем его диагональные элементы Tij описывают линейные деформации растяжения либо сжатия, недиагональные деформацию сдвига.

Отметим, что понятие тензора возникло изначально в теории упругости (tension в переводе с английского напряжение, tensor это примерный эквивалент слова напрягающий).

Выше мы рассматривали матрицу [g] первой фундаментальной формы (метрический

тензор) с элементами gij, задающую скалярное произведение в касательном пространстве. Где должны быть индексы у обратной матрицы [g] 1? Ðàç [g] матрица билинейной

формы, то при замене базиса [g]0 = P T [g]P . Соответственно [g] 1 преобразуется с помощью обратной матрицы P 1, то есть должна иметь индексы сверху (как у компонент вектора),

gij = [g 1]ij:

Произведение [g] 1 и [g] дает единичную матрицу:

3. Алгебраические операции над тензорами.

Здесь мы рассмотрим алгебраические операции над тензорами операции, в результате которых снова получается тензор.

1)Тензорные поля одинакового типа можно складывать, получая тензорные поля того же типа. Например, aij + bij = cij.

2)Тензорное произведение: (p1; q1) è (p2; q2) ! (p1 + p2; q1 + q2). В частности, произведение

тензора на скаляр дает тензор исходного типа.

и опускание индексов. Осуществляется с помощью метрического тензора, то есть с помощью gik и обратного ему g

Величинам с верхним индексом xi отвечают величины с нижним gkixi = xk, и обратно,

glkxk = glkgkixi = ilxi = xl.

Можно поднимать и опускать только часть индексов, gikgmlT kln = Timn.

Примечание. В ортонормированных базисах законы преобразования xi è xi одинаковы, как и законы преобразования матриц линейного оператора и билинейной формы.

)

сумма по всем возможным перестановкам i1; : : : ; iq, соответственно q! слагаемых. 7) Антисимметризация (альтернирование):

40