киб_3_семестр_матан_лекции

,

, … …

, где

Обозначение:

{ } , = 1,2 …

(1)

Или

+ −

в случае комплексных чисел,

=

=

- в случае действительных чисел.

выражение вида:

&

(2)

+ + + + = %

&

'

Для действительных чисел:

(2*)

%

'

Пример 1) ∑'&

, -

− геометрическая прогрессия

Примеры рядов:

При a=1:

&

= 1 + , + , + + , - +

% , -

'

Пример 2) ∑'&

678 = 1 + + 9 + + 678 + , = 678

Пример 3) ∑'&

= 1 +

+ : + + + − гармонический ряд, =

Пример 4)

&

1

'%

( + 1)( + 2)

Пример 5)

&

1 1

1 1

'%

2 + 3

− комплексный числовой ряд, = 2 + 3

числового ряда.

B = +

+ + = ?'% ?

(3)

ряда.

(4)

B = F→&lim SF

lim

F→&

S

F равен бесконечности или не существует, то ряд

Если

Поскольку n-натуральный ряд чисел, то под верхним пределом суммы

∑'&

мы понимаем + .

Проиллюстрируем определения 2,3 на примерах:

&

ряд H) % , -

'

B = + , + + , - = -J

(1 − , )

I(-J6) (известно из школьного курса)

lim B

= lim

= lim

− lim

,

=

→&

→&

1 − ,

→& 1 − ,

→& 1 − ,

, при |,| < 1 => ряд сходится

1 − ,

B = K

∞, при |,| > 1 => ряд расходится

Рассмотрим случай, когда |,| = 1:

1) q=1. Получаем ряд S

=a+a+…+a… =na.

lim B

= lim = ∞

n

=> ряд 1) расходится

→&

→&

2) q=-1. Получаем ряд S =a-a+a-…+a(-1)n-1

lim B = O0,

= 2Qn

→&

,

= 2Q + 1

?

?R

одной и той же

В

результате две подпоследовательности

Вывод

{B }

.

последовательности

пределам. А это означает, что

предел

B сходятся к разным{B

},

{B

}

|,| ≥ 1

|,|

< 1

для ряда 1: этот ряд сходится при

и расходится при

.

При |,| < 1

B =

1 − ,

(Запомнить!)

(5)

При = 1

B = -J

(6)

Ряд 2)

, =

< 1 => ряд 2) сходится как геометрическая прогрессия при

S =

1 1 = 2

|q|<1 и а=1; Сумма этого ряда имеет вид:

1исследования−

ряда 3) докажем следующую теорему.

Для

2

Воспользуемся приведенной ниже оценкой. Число e является пределом

последовательности (1 + ) , → ∞ , при этом

e > (1 + )

| прологарифмируем это неравенство при основании е>1.

1 > ln R = (ln( + 1) − ln )

=> > ln( + 1) − ln ; Рассмотрим n

неравенств;

сложив их, получим оценку частичной

суммы Sn:

[

1 > \ 2 − \ 1

1 > \ 3 − \ 2

+

2

Z1

… … … … … … …

B > ln( + 1) ^___` +∞, следовательно B → +∞

→R&

X

> ln( + 1) − ln( )

1

d

e

1

1

малых величин может быть величиной бесконечно большой.

Ряд c)

( + 1)( + 2) =

+ 1 −

+ 2

=

+ 1 − + 2

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

B = f2

− 3g + f3

− 4g + + f

−

+ 1

g + f

+ 1

−

+ 2

g = 2

−

+ 2

lim B

= lim f1

−

1

g = 1 = B

−

сходится

→&

→& 2

+ 2

2

Ряд h)

&

1

1

&

1

&

1

i

'% f2 +

3 g =

'%

2 +

'%

3 = 1 +

&

1

− сходится, как геометрическая прогрессия с , =

1

< 1

%'

2

2

1

( )

1

= 2

;

B

=

2 1

= 1

1

&

1

1 − 2

< 1

%

3

− сходится, как геометрическая прогрессия с , = 3

'

1

= 1

; B( ) =

3 1

=

1

3

1 − 3

2

Тогда сумма ряда равна B = 1 + 1

&

2

Теорема 2(необходимый признак сходимости числового ряда)

Если ряд 2)

% сходится, то lim = 0.

'

→&

Обратное неверно, как показывает гармонический ряд.

∑&'

;

=

; lim →& = 0 , но ряд расходится.

Итак,

&

^_____________`

lim = 0

% сходится

'

(обратное неверно)

→&

Доказательство: Пусть ряд 2) сходится. = B − B - .

Тогда lim = lim (B − B - ) = lim B − lim B - = B − B = 0.

→&

→&

→&

→&

lim z2 + 5

= z2

≠ 0 => ряд расходится

y

3 + 7

y

3

→&

∞

n2 + 1

;

Пример 7) ∑n =1 100n2 + 17

lim

n2 +1

=

1

¹ 0 ряд расходится

100n

2

+17

100

n→∞

lim = 0 . Обратное утверждение не верно.

− сходится

/

→

Доказано на предыдущей лекции.

Определение 4 (остатка числового ряда)

Остатком(n-ым) числового ряда называется выражения вида:

(1)

% = & + &( + + &* + = * &*

Выражение (1) представляет собой бесконечный числовой ряд.

Свойство 2) (очевидное)

(2)

. = . + %

Для сходящегося числового ряда имеет место следующая формула:

Сумму . можно вычислить приближенно . ≈ . ,

тогда %

− ошибка приближения

1

1

1

Пример=: 1 + 2 ∙ 5 + 3 ∙ 5( + + B ∙ 5C +

или .

Подсчитать сумму этого ряда с точностью до %F ,т. е. . ≈ .F

Замечание 1= .F

+ %F

То, что этот ряд сходится, мы узнаем чуть позднее.

1

1

17

.F = 1 +

2 • 5

+

3 • 5( = 1

150

1

1

1

1

%F =

4 • 5F

+

5 • 5J

+ < 5F + 5J + − геометрическая прогрессия с L

1

1

1N

F = 5 , M = 5F

%F ≈

5

= 0,01

1 −

1

N

17

5

. ≈ 1

с ошибкой приближения 0,01

150

Свойство 3) Задается теоремой 3.

Теорема 3 (о стремлении к нулю остатка сходящегося ряда)

Если ряд сходится, то его остаток - тоже сходящийся бесконечный ряд и

предел остатка ряда равен 0 при n->∞.

1)% − остаток ряда есть сходящийся

бесконечный ряд;

Q − сходитсяR T

2) →lim % = 0

1) Докажем, что Rn сходится. Составим частичные суммы для ряда 1:

W,*

= &

+ &( + + &*

= .&* − .

(4)

lim

W,* =

lim (.&* − . ) = . − . = 0

*→

*→

( → )

( → )

Т.е. конечный lim→ W,* , следовательно ряд (1) сходится.

Y) (2) =>

% = . − . ; lim % = lim (.

− . ) = . − . = 0

→

→

1)алгебраически складывать

,

∑

± ∑ n = ∑ ( ±n ) = = .o ± .p

(5)

где

.o − сумма 1 − го ряда ; .p − 2 − го ряда

2)умножать на число

∑

q = q .o

(6)