киб_3_семестр_дифгем_лекции

) !jl (t) гладкие функции.

T. (инвариантность кривизны относительно движения).

Пусть Ap = p0 + Qp изометрия пространства Rm, являющаяся движением (т.е. det Q = +1); Q

21

Q•(t); : : : ; ~(m 1)(t) = Q (m 1)(t). Ò.ê. Q - ортогональный оператор, то длины не меняются. Кривизна также не меняется:

T. Основная теорема локальной теории кривых (б/д).

Пусть I R интервал и 0 2 I. Пусть k1; :::; km 1: I ! R гладкие функции, при- чем k1(s); : : : ; km 2(s) > 0 8s 2 I. Тогда 9 единственная кривая общего вида единичной скорости (s) : I ! Rm:

1) (0) = 0;

~ m); 2) Ei(0) = ~ei (ãäå ~ei - i-й вектор стандартного базиса R

3) k1; : : : ; km 1 кривизны (s).

O. Уравнения ki = ki(s), i = 1; 2; : : : ; m 1, называются натуральными уравнениями кривой (s).

T. о последней кривизне (б/д).

Пусть (t) : I ! Rm - кривая общего вида. Тогда следующие условия эквиваленты:

1) образ (t) лежит в некоторой гиперплоскости (т.е. в подпространстве, размерность которого на 1 меньше размерности окружающего пространства);

2)det[ ; •; :::; (m)] = 0;

3)km 1 = 0.

22

Глава 3. Поверхности

1. Вектор-функции векторного аргумента. Дифференциал отображения

Кривые гладкие векторные функции одного аргумента t, (t) = ( 1(t); :::; m(t))T ; (t) : I ! Rm. Естественно попытаться определить поверхности как гладкие вектор-функции

нескольких аргументов.

f(u) = (f1(u); :::; fm(u))T = (f1(u1; :::; un); :::; fm(u1; :::; un))T

Отображение f : U Rn ! Rm, fi координатные функции этого отображения.

Обозначается: @u@fi (u0) = fu0i(u0) = fu0iju0 .

O. Отображение f : U Rn ! Rm называется гладким, если у каждой координатной функции fi существуют и непрерывны все возможные производные (сколь угодно высо-

кого порядка k) (@u1)k1 :::(@un)kn ; k1 + ::: + kn = k.

Класс гладкости Ck если 9 непрерывные производные до k-го порядка включительно.

Геометрический смысл частных производных.

Числитель дроби разность точек Rm, т.е. вектор, а значит производная fu0i

~ m. R

Рассмотрим функцию (t) = f(u10; :::; t; :::; un0 ); t = ui, при фиксированных uk0. Ýòî ôóíê- ция одной переменной t, она задает кривую (t) : I ! Rm, образ этой кривой лежит в обра-

зе f(U) отображения f. Очевидно, частная производная fu0i(u0) = (ui0) åñòü касательный вектор кривой (t).

Поэтому вектора частных производных (и их линейные комбинации) мы будем называть касательными векторами к отображению f : U Rn ! Rm.

Линейный оператор dfu0 называется дифференциалом отображения f : U Rn ! Rm.

23

Обозначается Du0 = Df(u0) = dfu0 .

Как обычно, рассмотрение локальных свойств отображения основано на замене при-

Столбцы векторы частных производных (касательные векторы) отображения f.

Обозначения: [df(u0)] = f0(u0).

Дифференциал вектора ~x: dfp(~x) = [df(u0)][x1 : : : xn]T = xifu0i(p), т.е. вектор ~x = xi~ei переводится в линейную комбинацию частных производных, коэффициентами которой

являются координаты исходного вектора.

2. Определение поверхности. Криволинейные координаты

O. Пусть U Rn открытая связная область. Гладкое отображение f : U Rn ! Rm называется n-мерной поверхностью, вложенной в Rm, если 8p 2 U ранг матрицы Якоби отображения f:

rang[f0(p)] = n:

Образ поверхности множество всех точек f(U).

Поскольку rang[f0(p)] = rang(fu01 ; :::; fu0n) = n, то в каждой точке p 2 U производные отображения линейно независимы.

Необходимость условия максимальности ранга видна на следующем примере.

Пример: отображение f(u1; u2) = (u1 u2; u1 u2; u1 u2)T .

11

àпрямая биссектриса 1 и 7 координатных октантов.

O. Образ дифференциала поверхности f : U Rn ! Rm; [dfp(~x)] = [fp0][xi], ~x = xie~i, называется касательным пространством к поверхности f в точке p 2 U и обозначает-

ñÿ Tpf. (Другими словами Tpf это все возможные линейные комбинации касательных векторов, буква T здесь означает tangential касательный).

Заметим, что [dfp(~ei)] = [fu0i(p)] (i-й столбец матрицы [f0(p)]), т.е. вектора стандартного базиса ~e1; :::;~en переходят в линейно независимые вектора fu01 (p); :::; fu0n(p) вектора стан-

дартного базиса касательного пространства Tpf.

24

Рассмотрим в области U Rn прямые k осям координат ui(t) = p + t~ei. Ïðè âñåõ возможных p они образуют координатную сеть в области U. Образы этих прямых на поверхности называются координатной сетью поверхности f : U Rn ! Rm или поверх-

ностной системой координат.

fu0i вектора скорости координатных линий,

(u1; :::; un) поверхностные или криволинейные координаты.

(x1; :::; xm) = (f1(u1; :::; un); :::; fm(u1; :::; un)) пространственные или абсолютные ко-

ординаты.

Криволинейные системы координат в Rn

Рассмотрим случай U Rn ! Rm при n = m. Это отображение задает не какую-либо поверхность, а криволинейные координаты в n-мерном пространстве.

Пример отображение f(r; ') = (r cos '; r sin ')T . Оно связывает полярные (криволи- нейные) координаты r; ' и декартовы координаты x1; x2 â R2.

3. Примеры поверхностей ( зоопарк )

1) Двумерная сфера в R3

f(u; v) = (R cos u cos v; R cos u sin v; R sin u)T ;

поверхностные (криволинейные) координаты: u широта, v долгота, u 2 ( 2 ; 2 ), v 2

( ; ).

Южный полюс u = 2 , северный полюс

25

3) Òîð.

а) Бублик получается вращением окружности (u) = (a + b cos u; 0; b sin u)T , f(u; v) = ((a + b cos u) cos v; (a + b cos u) sin v; b sin u)T ;

где u; v углы поворотов или тороидальные координаты точки f(p).

б) Прямое произведение двумерных окружностей двумерная поверхность, вложенная в четырехмерное пространство

f(u; v) = (a cos u; a sin u; b cos v; b sin v)T :

сеть вертикальные параболы и горизонтальные пересекающиеся прямые. < fu0 ; fv0 >= uv, т.е. координатная сеть неортогональна.

Упражнения.

1)параметрическое задание цилиндра

2)параметрическое задание конуса

4. Первая фундаментальная форма. Внутренняя геометрия поверхности

Ë8

Как считать длины, углы, площади, объемы на поверхности?

O. Первой фундаментальной формой Ip(X; Y ) поверхности f(U) : U Rn ! Rm

в точке p 2 U называется скалярное произведение в касательном пространстве Tpf, èíäó-

цированное из окружающего пространства ~ m,

R

Ip(X; Y ) = hX; Y iRm, ãäå X; Y 2 Tpf.

Обозначения: Ip(X; Y ) = I(p; X; Y ).

Каждое касательное пространство превращается в Евклидово, но при этом в каждом касательном пространстве скалярное произведение, вообще говоря, свое!

Первая фундаментальная форма поверхности это билинейная форма, но часто она по старой традиции называется первой квадратичной .

Вычисление.

Разложим вектора X; Y 2 Tpf по стандартному базису касательного пространства:

X = xifu0i(p), Y = yjfu0j (p).

26

Ip(X; Y ) = hxifu0i(p); yjfu0j (p)i = hfu0i; fu0j ixiyj = gijxiyj

gij = hfu0i; fu0j i метрические коэффициенты поверхности, элементы матрицы Грама [Ip] = [gij] матрицы 1-й фундаментальной формы.

Эта матрица:

1)симметрична;

2)положительно определена (удовлетворяет критерию Сильвестра); p

3)V = det[gij] объем параллелотопа, построенного на базисных векторах.

O. Все свойства поверхности f(U) : U Rn ! Rm, которые могут быть выражены

только через коэффициенты gij(p) первой фундаментальной формы, называются свойствами внутренней геометрии поверхности.

Длина кривой вдоль поверхности.

j (t)j2 = h (t); (t)i = hfu0iui(t); fu0j uj(t)i = ui(t)uj(t)hfu0i; fu0j i = ui(t)uj(t)gij.

В результате для длины дуги получаем:

Последнее выражение удобно, когда явная параметризация неизвестна, но известно соот- ношение между дифференциалами dui (т.е. когда кривая задана изначально уравнением

в поверхностных координатах).

Как обычно, обозначим как s = s(t) натуральный параметр (длину дуги) кривой (t),

квадратичная форма с той же матрицей, что и первая

фундаментальная форма, отсюда и не совсем корректное название первая квадратичная форма (вместо первой фундаментальной ).

Углы на поверхности.

Рассмотрим пару кривых вдоль поверхности f:

1(t) = f(u1(t)); 2( ) = f(u2( )).

Пусть они пересекаются в точке p = u1(t0) = u2( 0) 2 U;

это означает, что они пересекаются на поверхности в точке f(p):

1(t0) = 2( 0) = f(p)

27

1(t0) = fu0i(p)ui1(t0)2( 0) = fu0i(p)ui2( 0)

Объем поверхности.

p

Объем n-мерного параллелотопа, построенного на векторах a1; : : : ; an: V = det G, ãäå Gij = hai; aji матрица Грама векторов a1; : : : ; an.

Терминология: при n = 1 длина

при n = 2 площадь при n 3 объем

Соответственно, объем параллелотопа, построенноãî íà âåêторах стандартного базиса ка-

Считаем объемы чешуек в касательном пространстве

p

V ( u1fu01 ; : : : ; unfu0n) = u1 : : : unV (fu01 ; : : : ; fu0n) = det g(p) u1 : : : un

Интегральная сумма

X

p

V (f) = det g(pk) u1 : : : un:

pk

O. Объемом n-мерной инъективной поверхности называется число:

Z

p

V (f) = det g(p) du1 : : : dun:

U

При n = 1 имеем det g = g11 = hft0; ft0i = h ; i, и для длины дуги кривой получаем уже p

RR

UU

Криволинейные системы координат в Rn.

Рассмотрим подробнее случай отображения U Rn ! Rn, которое, как мы уже отме- чали выше, задает не какую-либо поверхность, а криволинейные координаты в n-мерном

пространстве.

Обычно используются ортогональные криволинейные координаты, поскольку формулы, имеющие отношение к длине и углам, выглядят в ортогональных координатах гораздо проще, чем в общем случае, т.к. матрица первой фундаментальной формы в системах с ортонормированным базисом является диагональной.

На диагонали матрицы [gij] стоят положительные коэффициенты gii. Коэффициенты Hi = pgii, зависящие от точки пространства, называются коэффициентами Ламе или

масштабными коэффициентами. Коэффициенты Ламе показывают, сколько единиц длины содержится в единице координат данной точки и используются для преобразования векторов при переходе от одной системы координат к другой. В частности, для полярных координат Hr = 1; H' = r, для сферических Hr = 1; H = r; H' = r sin .

Для различных задач используются разные ортогональные криволинейные системы координат. В R2, кроме полярных, также используются эллиптические, параболические и

биполярные координаты, в R3 - тороидальные, конические и др.

28

5. Замена параметров. Изометричность поверхностей

Ë9

O. Пусть : U ! V гладкое отображение области U Rn на область V и существует обратное отображение 1 : V ! U, которое также является гладким. Тогда называется диффеоморфизмом области U Rn на область V .

Коротко, диффеоморфизм это гладкое взаимнооднозначное отображение. Свойства:

1)Матрица Якоби [ 0p] является квадратной.

2)Обратимость, то есть det[ 0p] 6= 0

Это соотношение эквивалентности. Образы эквивалентных поверхностей совпадают. Непараметризованная поверхность класс эквивалентных поверхностей. Параметризованная поверхность каждое конкретное отображение f из этого клас-

ñà.

получим

[gij(u)] = [fu0 ]T [fu0 ] = [ 0u]T [f~u~0 ]T [f~u~0 ][ 0u] = [ 0u]T [~gij(~u)][ 0u]:

! ~

тивные поверхности, связанные диффеоморфизмом : U U, матрицы [gij(u)] è [~gij(~u)] в соответствующих точках u~ = (u) связаны соотношением ( ).

(Диффеоморфизм изометрия поверхностей f и f~).

Изометричные поверхности обладают одинаковой внутренней геометрией (площади, длины, объемы), но это, вообще говоря, разные поверхности.

Примеры изометричных поверхностей:

-цилиндр и плоскость

-конус и плоскость

-катеноид и геликоид

Пример.

Цилиндр f(u; v) = (R cos v; R sin v; u) и плоскость f(u; v) = (u; v; 0), соответственно

Матрица для цилиндра заменой параметра v = v=R~ приводится к единичной, и в такой

параметризации матрицы первой фундаментальной формы цилиндра и плоскости совпадают.

29

Цилиндр и плоскость это различные поверхности, но, используя только 1-ю фундаментальную форму, мы их различить не сможем. Их внутренняя геометрия одинакова. Надо взглянуть на поверхность снаружи.

6. Внешняя геометрия поверхностей. Основной оператор гиперповерхности

Гиперповерхность f : U Rn ! Rn+1 поверхность, размерность которой на 1 меньше размерности окружающего пространства.

Знаменатель объем параллелотопа, построенного на векторах базиса касательного векторного пространства.

Добавляя к базису касательного к гиперповерхности пространства вектор ~

N(u), ìû

~

получим базис fu01 ; : : : ; fu0n; N(u) всего пространства Rn+1.

Упражнения.

Найти нормальное гауссово поле вдоль гиперповерхностей: 1)f(u; v) = (R cos v; R sin v; u)T ;

2)f(u; v) = (R cos u cos v; R cos u sin v; R sin u)T .

Внешнюю геометрию гиперповехности мы будем исследовать, изучая поведение нор-

мального вектора ~ ?

N(u) Tpf при движении вдоль этой гиперповерхности. Дифферен-

цируя h i @ h i ) h ~ 0 i , 0 ? ~ N(u); N(u) = 1, получаем: @ui N(u); N(u) = 0 Nui; N = 0 Nui N;

òî åñòü ~ 0 2

Nui Tpf производная нормального вектора принадлежит касательному пространству.

Кривая: кривизна = скорость поворота единичного нормального вектора при движении вдоль кривой (см. уравнение Френе = k ).

На поверхности возможны разные направления движения, и мы каждому направле-

0 ~

íèþ fui поставим в соответствие скорость поворота нормального вектора N при его движении в этом направлении. Это приводит нас к следующему определению:

O. Линейный оператор Lp : Tpf ! Tpf, действующий по правилу

называется называется основным оператором гиперповерхности f : U ! Rn+1, èëè

оператором Петерсона-Вейнгартена (минус из соображений удобства, чтобы собствен- ные значения Lp являлись главными кривизнами, см. ниже).

Åñëè X 2 Tpf, òî X = xifu0i, Lp(X) = Lp(xifu0i) = xiLp(fu0i)[в силу линейности Lp]=

xiNu0 i.

30