Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

МИРЭА - Российский технологический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

TFKP_tipovoy_raschet_IV_sem_2015

.pdf

Скачиваний:

113

Добавлен:

10.05.2015

Размер:

191.08 Кб

Скачать

☆

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯМОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ РАДИОТЕХНИКИ, ЭЛЕКТРОНИКИ И АВТОМАТИКИ (ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

IV СЕМЕСТР

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

ÄЛЯ СТУДЕНТОВ ФАКУЛЬТЕТА КИБЕРНЕТИКИ

МОСКВА 2011

Составители: Н.В.Белецкая, И.П.Драгилева, С.В.Костин, О.В.Мукина, А.Л.Шелепин

Редактор Ю.И.Худак

Контрольные задания являются типовым расчетом по теории функций комплексного переменного (математический анализ, IV семестр), входящей в программу дневного отделения факультетов Кибернетики и Информационных технологий. Типовой расчет выполняется студентами в письменном виде и сдается преподавателю до начала зачетной сессии. Приведенные в работе вопросы к заче- там и экзаменам могут быть уточнены и дополнены лектором. При составлении контрольных заданий за основу были взяты типовые расчеты, разработанные коллективом кафедры высшей математики.

Печатаются по решению редакционно-издательского совета университета.

Рецензенты: Т.П.Краснослободцева С.Ф.Свистова

°c МИРЭА, 2011

Контрольные задания напечатаны в авторской редакции

Подписано в печать .01.2011. Формат 60£84 1/16.

Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл.печ.л. 1,40. Усл.кр.-отт. 5,58. Уч.-изд.л. 1,5. Тираж 200 экз. C

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образованияМосковский государственный институт радиотехники, электроники и автоматики (технический университет) 119454, Москва, просп. Вернадского, 78

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

(ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО) IV семестр

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ

1. Каков геометрический смысл тождества

jz1 + z2j2 + jz1 ¡ z2j2 = 2(jz1j2 + jz2j2)?

2. Найти область, заданную неравенствами

® < arg(z ¡ z0) < ¯ (¡¼ < ® < ¯ 6 ¼).

3. Найти область, заданную неравенством jzj < arg z, åñëè 0 6

6arg z < 2¼.

4.Найти ошибку в рассуждении, приводящем к парадоксу Бернулли: (¡z)2 = z2, поэтому 2 Ln(¡z) = 2 Ln z, и следовательно,

Ln(¡z) = Ln z.

5.Совпадают ли множества значений a2®, (a®)2, (a2)®? Рассмот- ðåòü äëÿ a = ® = i.

6.Для отображения w = z2 найти образы линий y = c è jzj = R.

Какие из них преобразуются взаимно-однозначно?

7. Для отображения w = ez найти образ линии x = y и прообраз линии ½ = µ, 0 6 µ < 1 (½, µ полярные координаты).

8. Доказать, что функция f(z) = z¹ нигде не дифференцируема.

9. Доказать, что функция f(z) = z Re z дифференцируема только в точке z = 0, найти f0(0).

10. Доказать, что для функции f(z) = jxyj в точке z = 0 выполняются условия Коши-Римана, но производная не существует.

11.Будут ли гармоническими функции jf(z)j, arg f(z), åñëè f(z)

регулярная функция?

12.Доказать, что производные (любого порядка) гармонической функции также являются функциями гармоническими.

13.Какая часть плоскости сжимается, а какая растягивается,

если отображение осуществляется функцией w = z2, w = 1=z, w =

=ez?

14.Пусть функция g(z) регулярна в точке z = a, причем g(a) = b и функция f(w) имеет в точке w = b полюс порядка m. Доказать, что функция F (z) = f(g(z)) имеет в точке z = a полюс порядка mn, ãäå n порядок нуля функции g(z) ¡ b в точке z = a.

15.Пусть функция g(z) регулярна в точке z = a è g(a) = b, а функция f(w) имеет в точке w = b существенно особую точку. Доказать, что точка z = a существенно особая точка функции

F (z) = f(g(z)).

16. Для каких рациональных функций

f(z) = A(z)

B(z)

точка 1 является устранимой особой точкой? Неустранимой особой точкой? Каков тип этой особой точки?

17.Построить пример функции, имеющей в расширенной плоскости только следующие особенности: полюс второго порядка в точ- ке z = 0 и простой полюс на бесконечности.

18.Построить пример функции, имеющей в расширенной плоскости только следующие особенности: 3 полюса первого порядка.

19.Найти общий вид функции, имеющей в расширенной плоскости только следующие особенности: полюс порядка 2 в точке z = 0

èполюс порядка 2 на бесконечности.

20.Найти общий вид функции, имеющей в расширенной плоскости только следующие особенности: полюс порядка 2 на бесконечности.

21.Доказать, что если f(z) непрерывна в окрестности точки z =

= a, òî

lim	Z	f(z)dz	¼if(a):

		z ¡ a = 2
r!0

jz¡aj=r

В чем отличие этого утверждения от интегральной формулы Коши?

a 6´0. Доказать, что

22. Доказать, что для функции f(z) имеет место равенство

res f(z) =	res f(z);
z=a	¡ z=¡a
åñëè f(z) четная, и равенство
res f(z) = res f(z);
z=a	z=¡a

åñëè f(z) нечетная. Предполагается, что написанные вычеты имеют смысл.

23. Пусть f(z) = g(az), ãäå

res	f(z) =	1	res g(z):

z=az0		a z=z0

24. Найти res f('(z)), если функция '(z) регулярна в точке a è '0(z) 6´0, à f(z) имеет в точке '(a) полюс первого порядка с выче- том, равным A.

25.Доказать, что к интегралу ¡R e¡z2dz, взятому по границе ¡ полуплоскости Im z > 0, теорема о вычетах неприменима.

26.Сколько корней уравнения z4 ¡ 5z + 1 = 0 находится в круге

jzj < 1?

27. Сколько корней уравнения z4 ¡5z +1 = 0 находится в кольце

1 < jzj < 3?

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ

Задача 1. Записать комплексное число z в алгебраической, показательной и тригонометрической формах.

2 + cos ³

3 + i ln 2´

6 + sin ³

6 + i ln 3´

¡ tg ³

¡ i 2

¡ 13

¡ ctg ³

¡ i 2

ln 3

2p3 ¡ ch ³ln 3 + i 6

4p3 ¡ sh ³ln 2 + i 6

1 ¡ th ³

+ i 12

¡ cth ³

+ i 12

ln 3

5¼

ln 3

5¼

¡4p2 + cos ³

+ i ln 4´

¡p2 + sin

+ i ln 2´

1 ¡ tg ³ 38

+ i 4

¡ ctg ³

+ i 4

ln 2

3¼

ln 2

5p2 + ch

³ln 5 ¡ i 4

p2 + sh ³ln 3 ¡ i 4

3¼

¡7 + th

³ln 2 ¡ i 6

¡13 + cth

³ln 2 ¡ i 6

1 + cos ³ 23

¡ i ln 2´

4 + sin ³

¡ i ln 4´

7p3 ¡ tg

+ i 4

p3 ¡ ctg ³

12 + i 4

ln 3

¡12 ¡ ch

³ln 6 + i 3

¡1 ¡ sh ³ln 2 + i 3 ´

2¼

¡ th ³

ln 8

¡ cth ³

ln 8

+ i

7p2 ¡ ch ³ln 7 + i 4

p2 ¡ sin ³

+ i ln 9´

3¼

¡ tg ³

+ i ln 2´

¡ ctg ³

+ i ln 2´

¡ th

¡ i 12 ´

4 ¡ sh ³

¡ i 6

ln 12

5¼

ln 12

5¼

6 ¡ ch ³

+ i 6 ´

¡ tg ³ 8

+ i

ln 3

3¼

ln 8

Решение варианта 31. Пусть z

ln 3

+ i

6 . Имеем:

ch z =

ez1 + e¡z1

Находим числа ez1 è e¡z1:

ln 3

ez1

= e 2

+ i

6 = e

³cos

+ i sin

´ =

= p3 ³

´ =

+ i

;

ln 3

e¡z1 = e¡ 2

¡ i

= e¡

hcos ³¡

´ + i sin ³¡

´i =

´ =

= p

Следовательно,

ch z1 =

+ i

+ ³

2 + p

= 1 +

2p3

Поэтому

z =

6 ¡ ch z1

= ¡

2p3

(¡1 ¡ i 3 )

Мы записали число z в алгебраической форме.

Находим модуль и главное значение аргумента числа z:

jzj =

j¡1 ¡ i 3 j =

¢ 2 =

;

2¼

arg z = arg (¡1 ¡ i

3 ) = ¡

Записываем число z в показательной и тригонометрической фор-

ìàõ:

2¼

z =

ei¡¡ 3

hcos ³¡

´ + i sin

³¡

´i:

´i.

Ответ: z = ¡6 ¡2p3 = 3 ei¡¡ 3

= 3 hcos ³¡ 3

´+i sin ³¡ 3

2¼

Решение варианта 32. Пусть z

3¼

+ i

ln 8

. Имеем:

tg z

sin z1

eiz1 ¡ e¡iz1

= i

e2iz1 ¡ 1

¢ eiz1 + e¡iz1

cos z1

¡ ¢ e2iz1 + 1

(мы умножили числитель и знаменатель на eiz1

è ó÷ëè, ÷òî

= ¡i).

Находим число e2iz1:

= e¡ 2

³cos

34 + i sin

´ =

e2iz1

= e¡ 2 + i 4

ln 8

3¼

ln 8

= 2p2

³¡p2

+ p2

´ = ¡4 +

Следовательно,

³¡

´ ¡ 1

1 + 5i

tg z1 =

1 i

³¡

´ + 1

¢ 3 i

3 + i

Умножим числитель и знаменатель на число, комплексно сопря-

женное к знаменателю, то есть на 3 ¡ i:

tg z1

(1 + 5i)(3 ¡ i)

3 + 15i ¡ i + 5

(3 + i)(3 ¡ i)

9 + 1

Поэтому z =

(1 ¡ i).

¡ tg z1 =

i =

Мы записали число z в алгебраической форме.

Находим модуль и главное значение аргумента числа z:

jzj =

j1 ¡ ij =

¢ 2 =

;

arg z = arg (1 ¡ i) = ¡¼4 :

Записываем число z в показательной и тригонометрической фор-


ìàõ:		p		ei¡¡				¢ =				p		hcos			³¡			´		+ i sin ³¡				´i:
ìàõ:	7	p	2				¼			7		p	2						¼						¼
z =	7		2				4			7			2
z =		5					4					5							4						4
								7p			ei¡¡					¢ =		7p				hcos ³¡		´+i sin			³¡		´i.
Ответ: z =		7		7				7p	2						¼			7p			2		¼					¼
			¡			i =									4
		5	¡		5	i =		5							4				5				4					4

Задача 2. В нечетных вариантах записать в алгебраической форме все элементы множества E. В четных вариантах решить

уравнение и записать в алгебраической форме все его решения.

N	Множество E																						N		Уравнение
	Arth ³	11 + 2ip																				´		(1 ¡ 4ip				) cth z = 3 + 2ip
																		3
1																		3					2			3								3
1		7																					2			3								3
3	Arsh ³ 12¡p2														´								4	7 ch z + 9 sh z = 1 ¡ 3ip3
											3i

	Arcctg ³					12														i		´
5					¡			¡															6	(4 ¡ 7i) tg z = ¡3 ¡ 16i
5								5															6	(4 ¡ 7i) tg z = ¡3 ¡ 16i
7	Arcsin ³							3				i ´											8	3 cos z + i sin z = 3 ¡ i

									4
	Arcth ³								2ip													´
																	3
																	3							(5 ¡ 8ip3 ) th z = 2 ¡ 13ip3
9			1 +																				10
9			13																				10
11	Arch ³ 3					4		p2												´			12	11 ch z ¡ 5 sh z = ¡9 + ip3
						p		3 + i

	Arctg ³					+ 5ip																´
																3
			4													3								(8 + 11ip3 ) ctg z = 7p3 ¡ 28i
13			4				7p																14

													3
		³ ¡2p2																			´				¡		2i sin z = 3p
								3 ¡ i																								+ i
15	Arccos																						16	6 cos z						3		+ i
	³							5							´														¡
17	Arth			7 ¡ 6i																			18	(1 + 30i) cth z = 11							10i
17	Arth																						18	(1 + 30i) cth z = 11							10i
	Arsh ³		1 ¡ ip																´					3 ch z ¡ 5 sh z = ¡2 ¡ 2ip
														3
19														3									20										3

			2
	Arcctg ³						p															´
										3										i
										3										i				(5 + 16ip3 ) tg z = 12p3 ¡ 7i
21				2				¡															22
								¡
								13

Множество E

Уравнение

¡ i

2 cos z + 10i sin z = p

+ 9i

Arcsin

4p2

Arctg ³

(4 + 25ip

) th z = 24 ¡ 5ip

3 ¡ 8i

Arch ³

9 ch z ¡ 7 sh z = ¡6 ¡ 2i

Arccos ³

+ i

(3 + 11i) ctg z = 19 + 9i

Arcth ³

2 ¡ ip

cos z + 7i sin z = 2p

¡ 6i

´ ñî-

Решение варианта 31. Множество E = Arcth

¡7

стоит из всех комплексных чисел z таких, что

2 ¡ ip

cth z =

( )

Поэтому задача сводится к решению уравнения (¤).

Имеем:

cth z =

ch z

+ e¡z

ez + e¡z

e2z + 1

sh z

ez ¡ e¡z

e2z ¡ 1

(мы умножили числитель и знаменатель на ez).

Обозначим число e2z

буквой t. Мы приходим к уравнению

2 ¡ ip

t + 1

t ¡ 1

Решаем это уравнение:

7(t + 1) = (2 ¡ i

3 )(t ¡ 1);

7t + 7 = (2 ¡ i 3 )t ¡ 2 + i 3;

(5 + i 3 )t = ¡9 + i 3;
		9 ¡ ip
t =			3	:


	¡	5 + ip3
	¡	5 + ip3

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.05.20151.51 Mб921Teoria_obuchenia_Moskva.doc
#
10.05.2015579.58 Кб117teor_min эл, магнет.doc
#
06.05.2019171.52 Кб84Testovaya_baza_po_UD_INiT-corr.doc
#
19.09.201992.16 Кб87Testy_vord (2).doc
#
01.04.20251.52 Mб21te_zhe_bilety_vmeste.docx
#
10.05.2015191.08 Кб113TFKP_tipovoy_raschet_IV_sem_2015.pdf
#
17.09.2019234.5 Кб57TIPIS_Markin.doc
#
18.04.2019943.62 Кб48tp1-2-lkz(для студентов).doc
#
10.05.20152.52 Mб21tpr.doc
#
10.05.2015148.02 Кб17TrAlg1s.pdf
#
10.05.2015216.89 Кб20TrAlg2s.pdf