Метод золотого сечения

На первом шаге процесса оптимизации внутри [] выбираем некоторые точки,и вычисляем значения целевой функции,.

В данном случае <расположен на одном из прилегающих котрезков: [] или [,].

[,] можно отбросить, сузив первоначальный интервал неопределённости.

Второй шаг проводим на [], где.

Нужно снова выбрать две внутренние точки, но одна из них -- осталась от предыдущего шага, поэтому достаточно выбрать точку, вычислить значение целевой функциии провести сравнение. В данном случае<, находиться на отрезке []. Обозначим =,=, снова выбираем одну внутреннюю точку и повторим процедуру сужения интервала неопределённости. Процесс оптимизации продолжаем, пока.

Как мы выбираем внутренние точки на каждом ?

Пусть длина интервала неопределённости равна , а точка деления разбивает его на частии:>,=+.

Золотое сечениеинтервала неопределённости выбирают так, чтобы отношение длины большего отрезка к длине всего интервала равнялось отношению длины меньшего интервала к длине большего интервала:

(8.7)

Отсюда можно найти точку деления, вычислив отношения: ;

Преобразуем (8.7) и найдём и:

или

так как нас интересует

__________________

Евклид (3в. до н. э.) выполнил задачу деления отрезка в данном отношении с помощью циркуля и линейки.

__________________

Очевидно, что интервал неопределённости можно разделить в соотношении золотого сечения двояко:

и. В данном случае имеем

;;

;

(8.8)

аналогично,

(8.9)

Начальная длина интервала неопределённости

После первого шага оптимизации получаем новый интервал неопределённости []. Его длина с учётом (8.9)

на втором шаге оптимизации [] также делиться в соотношении золотого сечения. При этом одной из точек деления будет точка.

следует из соотношения

Вторая точка деления выбирается так же, как выбирается точкапри делении [], аналогично (8.8) :.

Снова интервал неопределённости уменьшается до размера

по аналогии с (8.8) и (8.9) можно записать координаты точек деления ина-ом шаге оптимизации (<)

;

вычислению подлежит только одна из координат и; другая берётся с предыдущего шага. При этом длина интервала неопределённости

(8.10)

Процесс оптимизации заканчивается при выполнении условия

В качестве приближения к оптимальному значению можно принять

=или=или

в последнем случае для достижения требуемой точности и выполнения неравенства (8.6) достаточно