Одномерная оптимизация

Одномерная задача оптимизации формулируется следующим образом: Найти экстремум целевой функции , заданной на множестве, и определить значение проектного параметра, при котором целевая функция принимает экстремальное значение.

Существование решения поставленной задачи вытекает из теоремы Вейерштрасса: Всякая функция , непрерывная на [a,b], принимает на этом отрезке наименьшее и наибольшее значения, то есть на [a,b]

и:

.

Эта теорема не доказывает единственности решения. Не исключена возможность достижения равных экстремумов сразу в нескольких точках данного отрезка. Такая ситуация например имеет место для периодической функции (например ), рассматриваемой на отрезке, содержащем несколько периодов.

Простейший класс целевых функций случай дифференцируемой функции на [a,b],причём функция задана в виде аналитической зависимости ,и может быть найдено явное выражение для. Нахождение экстремумов таких функций проводят методами дифференциального исчисления, известными из высшей математики: функцияможет достигать своего наименьшего и наибольшего значения либо в граничных точках [a,b]; либо в точках и, которые обязательно должны быть критическими, то есть=0 в этих точках – это необходимое условие экстремума, для определения наименьшего и наибольшего значений функциина [a,b] нужно вычислить её значения во всех критических точках данного отрезка и в его граничных точках и сравнить полученные значения; наименьшее или наибольшее из них и будет искомым значением.

Пример: Найти наименьшее и наибольшее значения функции на [1,3].

Решение: Найдём производную этой функции

Найдём критические точки:

=0

=0=0,=2

=0[1,3]

Для анализа оставляем три точки:

=1

=2

=3

Сравнивая полученные величины, находим

Здесь уравнение =0 удалось решить непосредственно. Для более сложных видовнеобходимо использовать численные методы решения нелинейных уравнений.

Рассмотренный метод, основанный на вычислении производной целевой функции, требует её аналитического представления.

В других случаях, когда целевая функция задана в табличном виде или может быть вычислена при некоторых дискретных значениях аргумента, используют различные методы поиска. Они основаны на вычислениях целевой функции в отдельных точках и выбора среди них наибольшего или наименьшего значений.

Рассмотрим нахождение минимума функции на [a,b]. Предположим, что целевая функция унимодальна, то есть на данном отрезке она имеет только один минимум.

В инженерной практике встречаются именно такие целевые функции.

Погрешность приближённого решения задачи определяется разностью между оптимальным значением проектного параметра и приближением к нему.

Потребуем

(8.6)

заданное допустимое значение

Процесс решения задачи оптимизации методом поиска состоит в последовательном сужении интервала изменения проектного параметра, называемого интервалом неопределённости. В начале процесса оптимизации его длина равна , к концу она должна стать меньше, то есть оптимальное значение проектного параметра должно находиться в интервале неопределённости, причёмтогда для выполнения условия (8.6) в качестве приближения к оптимальному значению можно принять любое, например:илиили

В последнем случаедля выполнения (8.6) достаточно выполнения неравенства

Наиболее простым способом сужения интервала неопределённости является деление его на некоторое число равных частей с последующим вычислением значений целевой функции в точках разбиения.

Пусть число элементарных отрезков

- шаг разбиения

Вычислим значения целевой функции в узлах

Сравнивая полученные значения , найдём среди них наименьшее

Число можно приближённо принять за наименьшее значение целевой функциина [a,b].

Очевидно, для непрерывной, то есть близостьк минимумузависит от числа точек: с увеличением числа точек разбиения погрешность в определениистремиться к нулю.

Этот метод называется методом перебора.

Основная трудность: выбор и оценка погрешности.

Пример: Пусть начальная длина интервала неопределённости равна . Нужно добиться его уменьшения в сто раз. Этого легко достичь разбиением интервала на 200 частей.

Вычислив значения целевой функции , найдём её минимальное значение. Тогда искомым интервалом неопределённости будет.

Но можно сократить число разбиений. Сначала разобьём [a,b] на 20 частей и найдём интервал неопределённости длиной 0,1; при этом мы вычислим значения целевой функции в точках .

Теперь снова разобьём на 20 частей, получим искомый интервал длиной 0,01; причём значения целевой функции вычисляем в точках, так как в точкахизначенияуже найдены. Таким образом, во втором случае в процессе оптимизации произведено 40 вычислений значений целевой функции против 201 в первом случае.

То есть способ разбиения позволяет существенно уменьшить количество вычислений.

Существует ряд специальных методов поиска оптимизации решений: метод деления отрезка пополам, метод золотого сечения, метод Ньютона и так далее, позволяющие сократить объём вычислений и время поиска.