Методы оптимизации

Определения

Под оптимизацией понимают процесс выбора наилучшего варианта из всех возможных. С точки зрения инженерных расчётов методы оптимизации позволяют выбрать наилучший вариант конструкции, наилучшее распределение ресурсов и т.п.

В процессе решения задачи оптимизации обычно необходимо найти оптимальные значения некоторых параметров, определяющих данную задачу. В инженерных задачах их называют проектными параметрами, в экономических задачахпараметрами плана.В качестве проектных параметров могут быть:значения линейных размеров объекта, массы объекта, температуры и т.п.

Число проектных параметров

характеризует размерность и степень сложности задачи оптимизации.

Выбор правильного решения или сравнивание двух альтернативных решений проводиться с помощью некоторой зависимой величины (функции), определяемой проектными параметрами. Эта величина называется целевой функцией (или критерием качества).

В процессе решения задачи оптимизации должны быть найдены такие значения проектных параметров, при которых целевая функция имеет экстремум: минимум или максимум.

Целевую функцию можно записать в виде

(8.1)

Примеры целевых функций, встречающихся в экономических и инженерных расчетах: прочность или масса конструкции, мощность установки, объём выпуска продукции, стоимость перевозок грузов, прибыль и т.п.

При =1 целевая функция-функция одной переменной, её график - кривая на плоскости.

При =2 целевая функция-функция двух переменных, её график - поверхность в трёхмерном пространстве.

Целевая функция не всегда может быть представлена в виде формулы. Иногда она может принимать некоторые дискретные значения, задаваться в виде таблицы и т.п. В любом случае, она должна быть однозначной функцией проектных параметров.

Целевых функций может быть несколько.

Например, при проектировании изделий машиностроения одновременно требуется обеспечить надёжность,материалоёмкость,полезный объём или грузоподъёмность. Некоторые целевые функции могут оказаться несовместимыми. В таких случаях, необходимо вводить приоритет той или иной функции.

Задачи оптимизации можно классифицировать различными способами.

Пирумов: на 3 группы (см. стр. 57)

Турчак: на 2 типа: условные и без условные.

Безусловная задача оптимизации

Состоит в отыскании идействительной функции(8.1) отдействительных переменных определении соответствующих значений аргументов на некотором подмножестве- мерного пространства.

Обычно рассматриваются задачи минимизации; задачи на поиск к ним легко сводится путём замены знака целевой функции на противоположный.

Условные задачи оптимизации или задачи с ограничениями - это задачи, при формулировке которых задаются некоторые условия (ограничения) на множестве . Эти ограничения задаются совокупностью некоторых функций, удовлетворяющих уравнениям или неравенствам.

Ограничения- равенства выражают зависимость между проектными параметрами, отражают законы природы, наличие ресурсов, финансовые требования и т.п.

В результате ограничений область проектирования , определяемая всеми проектными параметрами, может быть существенно уменьшена в соответствии с физической сущностью задачи. Число ограничений – равенствоможет быть произвольным.

(8.2)

В ряде случаев из этих соотношений можно выразить одни проектные параметры через другие, что, в свою очередь, может уменьшить размерность задачи и облегчить её решение.

Аналогично можно вводить ограничения-неравенства:

(8.3)

Особенность отыскания решения при наличии ограничений: оптимальное решение может соответствовать либо локальному экстремуму функции внутри области проектирования, либо значению целевой функции на границе области.

Если же ограничений нет, то ищется оптимальное решение на всей области проектирования, т.е. глобальный экстремум. Теория и методы решения задач оптимизации при наличии ограничений составляют предмет исследования одного из разделов прикладной математики, математического - программирования.

Пример постановки задачи:

Пусть требуется спроектировать контейнер в форме прямоугольного параллелепипеда объёмом ; желательно израсходовать как можно меньше материала. При постоянной толщине стенок условие уменьшения расходов материала означает, что площадь полной поверхности контейнера должна быть.

Обозначим - рёбер контейнера. Следовательно, задача сводится к минимизации функции

(8.4)

Эта функция в данном случае является целевой. Условие - ограничение – равенство. Оно позволяет исключить один параметр

(8.5)

Свели задачу к минимизации функции двух переменных. В результате решения будут найдены значения проектных параметров а потом .

Фактически получилась задача безусловной оптимизации для целевой функции (8.5), так как ограниченное равенство было использовано для исключения параметра .

Можно усложнить задачу, добавив дополнительные условия. Например, потребуем, чтобы данный контейнер имел длину не менее 2 метров.

Получим ограничение-нераенство на один из параметров

(8.5)

Таким образом, получаем условную задачу оптимизации: необходимо минимизировать функцию (8.4), учитывая ограничение-неравенство (8.5), найти оптимизацию значения параметров .