Другие задачи линейной алгебры.

Кроме решения СЛАУ существуют другие задачи линейной алгебры – вычисления определителя, обратной матрицы, собственных значений матрицы и другие.

Легко вычисляются лишь определители невысоких порядков и некоторые специальные типы определителей. В частности, для определителей второго и третьего порядков соответственно имеем

Определительтреугольнойматрицыравен произведению её элементов, расположенных на главной диагонали …

В общем случае вычисление определителя оказывается значительно более трудоёмкой задачей. Определитель порядкаимеет вид (3.03)

, определитель равен сумме! слагаемых каждое, из которых является произведениемэлементов. Поэтому для вычисления определителя порядка(без использования специальных приёмов) требуется (-1)! Умножений и!-1 сложений, то есть общее число арифметических операций равно

N=(3.08)

Оценим значения Nв зависимости от порядкаопределителя :

	3	10	20
N	17	3,6	5

Можно подсчитать время вычисления таких определителей на компьютере с заданным быстродействием.

Например: при среднем быстродействии 10 миллионов операций в секунду для вычисления определителя десятого порядка потребуется примерно 3,6 секунды при=20 больше 150 тысяч лет.

Эти оценки указывают на необходимость разработки и использования экономичных численных методов, позволяющих эффективно проводить вычисления определителей.

Матрица называетсяобратнойпо отношению к квадратной матрице А, если их произведение равно единичной матрице: А=А=Е

В линейной алгебре доказывается, что любая невырожденная матрица А(то есть ) имеет обратную. При этом.

Алгебраическим дополнениемэлементаназывается определитель (-1) го порядка, образованный из определителя матрицы А зачеркиванием- ой строки и-го столбца, и взятый со знаком плюс, если сумма номеров строкии столбца, (+)-чётная и со знаком минус, если эта сумма нечётна, то есть

Каждый элемент () обратной матрицыравен отношению алгебраического дополненияэлемента( не) исходной матрицы А к значению её определителя :

Здесь так же можно подсчитать число операций, необходимое для вычисления обратной матрицы без использования специальных методов. Это число равно сумме числа операций, с помощью которых вычисляются алгебраических дополнений, каждое из которых является определителем (-1) – го порядка, иделений алгебраических дополнений на определитель. Таким образом, общее число операций для вычисления обратной матрицы: