Численные методы линейной алгебры

Решение систем линейных алгебраических уравнений является одной из самых распространенных и важных задач вычислительной математики, поскольку к решению систем линейных уравнений, по мнению американского математика Валяха, сводятся 75% практических задач.

Запишем систему линейных алгебраических уравнений снеизвестными:

(3.01)

Совокупность коэффициентов в этой системе запишем виде таблицы:

Данная таблица, состоящая из строк истолбцов, содержитэлементов и называется квадратной матрицей порядка. (Если таблица состоит изстрок истолбцов и содержитэлементов, она называется прямоугольной матрицей). Систему (3.01) можно записать в векторно-матричном виде:

(3.02) где={} – вектор–столбец неизвестных (иначе вектор-решение)

=

=-вектор-столбец правых частей (вектор свободных членов)

=

В ряде случаев получаются системы уравнений с матрицами специальных видов.

- единичная матрица, частный случай диагональной матрицы

O=- нулевая матрица

-симметричная матрица(элементы симметричны относительно главной диагонали)

- верхняя треугольная матрица (элементы ниже главной

диагонали равны нулю).

- ленточная матрица, смежные элементы составляют ленту параллельно диагонали, здесь трёх диагональная матрица(с такими часто приходится иметь дело при решении дифференциальных уравнений)

- клеточная матрица (ненулевые элементы составляют отдельные группы (клетки))

Определителем (детерминантом)матрицы А- го порядка называют числоD

алгебраическое дополнение элемента

(3.03)

Инверсия- обмен двух индексов местами; с помощью таких обменов перестановка получается из перестановки 1,2,…,.

Индексы пробегают все возможные! перестановок номеров 1,2,…,.

- число инверсий в данной перестановке

Необходимым и достаточным условием существования единственного решения СЛАУ является условие . В случаематрица называетсявырожденной, при этом СЛАУ (3.02) либо не имеет решения, либо имеет их бесконечное множество.

Рассмотрим это на примере системы:

Каждое уравнение описывает прямую на плоскости. Координаты точки пересечения прямых являются решением системы(3.04).

Рассмотрим 3 возможных случая взаимного расположения двух прямых:

1)Прямые пересекаются, то есть коэффициенты системы не пропорциональны

(3.05)

2) Прямые параллельны, то есть коэффициенты системы подчиняются условиям

(3.06)

3) Прямые совпадают, то есть все коэффициенты пропорциональны

Запишем определитель системы

При выполнении условия (3.05)система имеет единственное решение. При выполнении условия (3.06)решение отсутствует. При выполнении условия (3.07)система имеет бесконечное множество решений.

На практике, особенно при вычислениях на компьютере, когда происходит округление или отбрасывание младших разрядов чисел, далеко не всегда удаётся получить точное равенство .

При прямые могут оказатьсяпочти параллельны (в случае системы двух уравнений); координаты точки пересечения этих прямых весьма чувствительны к изменению коэффициентов системы.

При малом изменении параметров Заметно меняются.

одной из прямых координаты точки

пересечения мало изменяются.

Приведённые соображения справедливы для любого (числа уравнений), хотя в случае>3 нельзя привести простые геометрические иллюстрации. При=3 каждое уравнение описывает плоскость в пространстве, и в случае почти параллельных плоскостей или линий их попарного пересечения получаем плохо обусловленную систему трёх уравнений.