Метод простой итерации

Для использования этого метода исходное нелинейное уравнение записывается в виде:

(6.12)

Пусть известно начальное прибл-е корня . Подставляя это значение в правую часть, получаем новое прибл-е . Получая каждый раз новое значение корня в (6.12) получаем последовательность значений: .

Итерация пр-с прекращение, если результаты двух последовательных итераций близки, то есть выполнено неравенство (6.10). Для невязки, полученной на k-й итерации выполнено соотношение: .

То есть, условие малости невязки на k-й итерации здесь эквивалентно условию близости k-го и (k+1)-го приближений.

Достаточное условие сходимости метода простой итерации с формулированной в теореме:

Пусть - корень уравнения (6.12), то есть , и непрерывна. Тогда существует окрестность корня с такая, что если нач. приближение принадлежит этой окружности, то для метода простой итерации последовательность значений сходится к при .

Метод простой итерации рассмотрен для уравнения (6.12) к такому виду можно всести и более общее уравнение (6.1)

(6.13)

здесь - некоторое число. Уравнение (6.13) эквивалентно (6.12) с функцией . За счет выбора значения параметра можно добиваться сходимости метода простой итерации и ск-ти сходимости. Параметр можно выбтирать и переменным зависящим от № итерации. Например, если положить , то метод простой итерации для уравнения (6.113) примет вид

Это соотношение совпадает с формулой метода Ньютона (6.11). Следовательно, метод Ньютона есть частный случай метода простой итерации с переменным .

Домашнее задание: Написать алгоритм метода простой итерации.

Системы нелинейных уравнений

Многие практические задачи сводятся и решению системы нелинейных уравнений.

Пусть требуется решить систему нелинейных уравнений:

(7.3)

В векторной форме эту систему можно записать

Где ,

В отличие от систем линейных уравнений, не существует прямых методов решения систем нелинейных уравнений общего вида. Лишь в отдельных случаях систему 7.3) можно решить непосредственно. Например: для случая двух уравнений иногда удается выразить одно неизвестное через другое и таким образом свести задачу к решению одного нелинейного уравнения относительно одного неизвестного.

Для решения систем нелинейных уравнений обычно используют метод Зейделя, метод Ньютона.

Метод простой итерации и метод Зейделя

Систему (7.3) представим в виде:

(7.4)

… … … …

Для решения этой системы можно использовать метод простой итерации, аналогичный соответствующему методу для одного уравнения. Значения неизвестных на -ой итерации будут найдены с использованием их значений на предыдущей итерации

, (7.5)

Систему (7.4) можно решить и методом Зейделя напоминающим метод Гаусса-Зейделя решения СЛАУ. Значения находится из го уравнения системы с учетом уже вычисленных на текущей итерации значений неизвестных. Таким образом, значения неизвестных на -й итерации будут находиться с помощью соотношения:

,

Итерационных процесс в обоих методах продолжается до тех пор, пока изменения всех неизвестных в двух последовательных итерациях не станут малыми, то есть в качестве критерия завершения итераций выбирают одно из условий:

(7.6)

(7.7)

,

При использовании этих двух методов успех во многом определяется удачным выбором начальных приближений неизвестных: они д.б. достаточно близкими к истинному решению. В противном случае итерация процесс может не сойтись.