Лекция №7

Отступление о собственных векторах и собственных значениях матрицы.

Умножение матриц:

- условие существования матрицы

,

То есть, чтобы получить элемент, стоящий в i-строке и j-столбце, нужно элементы i-строки первой матрицы умножить на соответствующие элементы j-го столбца второй матрицы и полученные произведения сложить.

Свойства произведения матрицы:

1. 

2. 

3. 

4. 

(- матрицы; - число)

Произведение матриц не обладает переместительным свойством, то есть

Пример: 1 2 5 6

3 4 7 8

19 22 23 34

43 50 31 46

Может случиться, что произведения двух матриц, взятых в одном порядке, будет иметь смысл, а произведение тех же матриц, взятых в противоположном порядке, смысле иметь не будет.

Пример: 1 2 3 3 2 1

4 5 6 2 1 3

4 3 0

19 13 7

46 31 19

- не существует

Пусть дана квадратная матрица . Рассмотрим линейное преобразование (7.1)

- n-мерные векторы некоторого, вообще говоря, комплексного n-мерного пространства.

Определение: Ненулевой вектор называется собственным вектором данной матрицы, если в результате соответствующего линейного преобразования этот вектор переходит в коллинеарный ему, то есть если преобразованный вектор отличается от исходного только скалярным множителем.

Иначе говоря, вектор называется собственным вектором матрицы , если эта матрица переводит вектор в вектор

(7.2)

Число называется собственным значением (или характеристическим числом) матрицы , соответствующим данном собственному вектору .

Пример: Рассмотрим преобразование проектирования в двумерном пространстве , определяемое матрицей:

1 0

0. 0

Здесь собственными векторами являются:

1. Ненулевые векторы , направленные по оси с собственным значением

2. ненулевые векторы , направленные по оси , с собственным значением .

Уравнение (1) можно записать - характеристическое уравнение, где - характеристическая матрица - характеристический множитель.

Пример:

2 1 1

1 2 1

1 1 2

Найти собственные значения и собственные векторы матрицы.

Решение: составим характеристическое уравнение:

Отсюда: , ,

Возьмем: , подставим в уравнение .

Имеем: 1 1 1 x₁

1 1 1 x₂

1 1 1 x₃

Или

Достаточно решить одно из этих уравнений: положив ;, получим , где и - любые числа не равные пустому множеству одновременно.

В частности, выбирая сперва , , а затем , будем иметь простейшую фундаментальную. Систему решений, состоящую из двух линейно независимых векторов матрицы :

1 0

0 и 1

-1 -1

Все остальные собственные векторы матрицы соответствующие характеристическому числу , являются линейной комбинацией этих базисных векторов и заполняют плоскость, натянутую на векторы и (исключая начало координат).

Возьмем теперь . Подставляя это значение в уравнение, получим:

-2 1 1 x₁

1 -2 1 x₂

1 1 -2 x₃

Или

Отсюда: - постоянная, отличная от пустого множества. Положим , получим простейшее решение, реализующее собственный вектор матрицы

1

1

1

Задача нахождения собственных значений и собственных векторов возникает во многих задачах механики, физики и химии. С точки зрения линейной алгебры задача о собственных значениях и векторах включает в себя составление характеристического мн-на, отыскание корней этого мн-на (собственных значений), однородной системы, то есть определение собственных векторов матрицы .

В рассмотренных метода на каждой итерации исходная функция аппроксимируется линейной функцией. Для итерации формул можно использовать информацию о функции в нескольких точках, предшествующих точке . Например, в методе парабол по трем последовательным приближениям строится мн-н второй степени (парабола), приближающий исходную функцию. Этот метод называется n-дополнительных парабол, меьод Мюллера, или методом квадратичной интерполяции.