Перестановка уравнения

/ j - № столбца /

Для K от

Для от

До

До

До

Для от / обратный ход метода Гаусса /

/ i - № неизвестного, которое определяется для от из i-го уравнения /

/ j - № найденного неизвестного /

До

До 1 с шагом -1

Вывод

Одной из модификаций метода Гаусса является схема с выбором главного элемента. Здесь требование ( на диагональные элементы происходит деление в процессе исключения) заменяется более жестким: из всех оставшихся в i-м стобце элементов нужно выбрать наибольший по модулю и переставить уравнения так, чтобы этот элемент оказался на месте элемента .

А

Перестановка уравнения

лгоритм выбора главного элемента используется вместо при

с

мотри алгоритм.

Главные элементы можно выбирать либо по столбцу, либо по строке, либо по всей матрице.

Благодаря выбору наибольшего по модулю ведущего элемента уменьшаются множители, используемые для преобразований уравнений, что способствует уменьшению погрешностей вычислений. Поэтому метод Гаусса с выбором главного элемента обеспечивает приемлемую точность решения для уравнений (не слишком большого числа). Метод Гаусса целесообразно использовать для решения систем с плотно заполненной матрицей. Все элементы матрицы и правые части системы уравнений находятся в оперативной памяти машины.

Объем вычислений определятся порядком системы : число арифметических операций

(4.12)

Определитель и обратная матрица

Мы уже знаем, что вычисление определителя матрицы требует большого объема вычислений. Определитель матрицы вычисляется легко, он равен произведению ее диагональных элементов. Для приведения матрицы к виду можно использовать прямой ход метода Гаусса. В процессе исключения элементов величина определителя не меняется. Знак определителя меняется на противоположный при перестановке его столбцов или строк.

Следовательно, после приведения матрицы A к виду значение определителя вычисляется по формуле

(4.13)

Здесь - диаг. элементы преобразованной матрицы.

К- число перестановок строк / столбцов матрицы.

Благодаря методы исключения можно вычислять определители и большего порядков. Объем вычислений значительно меньше, чем в (4.12).

Найдем обратную матрицу .

Обозначим ее элементы

Известно:

=

(4.14)

Где - столбец матрицы

- столбец матрицы (j место)

Следовательно, для нахождения j-го столбца обратной матрицы нужно решить систему уравнений (4.14). Необходимо решить таких систем для .

Мы найдем все столбцы и саму матрицу .

Поскольку при матрица системы (4.14) не меняется, исключение неизвестных при использовании метода Гаусса (прямой ход) проводится только один раз, причем сразу для всех правых частей – столбцов . Потом для каждой из систем (4.14) делается обратный ход с соответствующей преобразованной правой частью.

Оценки показывают, что это весьма экономичный способ обращений матрицы.

Он требует лишь в 3 раза больше действий, чем при решении одной СЛАУ. Степень отклонения вычисленной обратной матрицы от ее точного значения характеризуется погрешностью

и невязкой

Пример: Решим СЛАУ методом Гаусса для случая трех уравнения:

(4.15)

Исключаем из второго и третьего уравнений. Первое умножим на 0.3 и результат прибавим ко второму, потом первое умножим на -0.5 и результат прибавим к третьему.

Заметим, что во втором уравнении коэффициент при мал, поэтому лучше было бы переставить второе и третье уравнения. Но сейчас мы проводим вычисления в рамках точной арифметики, и погрешности вычислений не опасны. Продолжим исключение. Второе уравнение домножим на 25 и результат сложим с третьим. Получим систему с матрицей вида:

Прямой ход метода Гаусса закончен. Обратный ход состоит в вычислении ,,.

Подставив в исходную систему, легко убедиться, что это и есть решение. Теперь слегка изменим коэффициенты системы таким образом, чтобы сохранить прежним решение, но при вычислениях использовать округления. Например, возьмем систему

(4.16)

Проведем исключение. Вычисления проведем в рамках арифметики с плавающей точкой, сохраняя 5 разрядов числа.

После первого шага исключения получим:

Следующий шаг проводим при малом ведущем элементе. Чтобы исключить из третьего уравнения, умножаем второе уравнение на 2500. При умножении имеем в правой части: округление до 5 разрядов

В результате третье уравнение имеет вид:

Вычисления проводились с округлением до 5 разрядов по аналогии с процессом вычислений на компьютере. В результате получили решение вместо . Такая большая неточность результата объясняется малой величиной ведущего элемента.

Если переставить уравнения системы до исключения, получим систему:

Умножаем второе уравнение на и результат прибавляем к третьему:

Таким образом, перестановка уравнений и выбор наибольшего по модулю из оставшихся в данном столбце элементов, ведет к исчезновению погрешности решения в рамках данной точности.