Лекция №4 Прямые методы решения слау

Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными Ax=b (4.1)

Где A – матрица

x – вектор неизвестных

b – вектор свободных членов

Если единственное решение системы (4.1)

В самом деле, при обратная матрица A^-1. Умножая обе части (4.1) на матрицу A^-1 слева, получим

A^-1 Ax= A^-1b

x = A^-1b (4.2)

Эта формула дает решение СЛАУ (4.1), причем единственное.

На экзамене:

Решить системы уравнений:

1)

2)

Решение системы вычисляется путем умножения обратной матрицы на столбец свободных членов. Из прошлой лекции: число операций для вычисления обратной матрицы: (4.3)

Поэтому формула (4.2) редко употребляется на практике.

Из этой формулы легко получить формулы Крамера:

(4.4)

или

где (число!)

- определитель, полученный из определителя путем замены - го столбца столбцом свободных членов. (тоже число!) , если система имеет единственное решения, определяемое матричной формулой (4.2) или скалярными формулами (4.4).

Подсчитаем количество арифметических операций при использовании формул (4.4): Для вычисления неизвестных необходимо найти значения определителя. Если мы будем вычислять определители матриц без использования экономичных формул, то получим

(4.5)

Домашнее задание

Распишите формулы Крамера для системы 2-х уравнений с 2-мя неизвестными.

Поэтому методы решения СЛАУ с использованием обратной матрицы или по формулам Крамера непригодны для практического решения при больших значениях из-за большого объема вычислений.

Наиболее распространенными из прямых методов являются метод исключения Гаусса и его модификации.

Рассмотрим применение метода исключения для:

• решения СЛАУ;

• вычисления определителя;

• нахождения обратной матрицы.

Метод Гаусса можно интерпретировать как метод, в котором первоначальная матрица приводится к верхней треугольной форме (прямой ход), потом – к единичной (обратной ход). Очевидно, что если матрица единичная то .

Итак, метод основан на приведении матрицы системы к виду. Это достигается последовательным исключением неизвестных из уравнений системы. Сначала с помощью 1-ого уравнения исключается из всех последних уравнений системы. Потом с помощью 2-ого уравнения исключается из 3-ого и всех последних уравнений.

Этот процесс, называемый прямым ходом метода Гаусса, продолжается до тех пор, пока в левой части последнего уравнения не останется лишь один член с неизвестным , т.е. матрица системы будет приведена к виду.

Обратный ход метода Гаусса состоит в последовательном вычислении искомых неизвестных: решая последнее уравнение, находим - единственное в этом уравнении неизвестное. Далее используя это значение, из предыдущего уравнения вычисляем и т.д. Последним находим .

Важное замечание: описанные процедуры применимы лишь для систем с невырожденной матрицей. В противном случае (при условии, что вычисления проводятся точно) с помощью метода Гаусса можно ответить на вопрос, имеет ли система бесконечное множество решений или не имеет ни одного. Однако эти случаи мы рассматривать не будем.

Еще раз: мы предполагаем, что матрица невырожденная.

Рассмотрим применение метода Гаусса на примере системы из 3-х уравнений с 3-мя неизвестными.

(4.6)

Чтобы исключить из 2-го уравнения домножим 1-ое уравнение на - и прибавим ко 2-ому уравнению. Затем, домножим 1-ое уравнение на - и прибавим результат к 3-му уравнению, также исключив из него .

Получим систему, равносильную (4.6):

(4.7)

Где

Теперь из 3-го уравнения системы (4.7) необходимо исключить . Домножим 2-ое уравнение на и результат прибавим к 3-му уравнению.

Получим равносильную (4.7) систему:

(4.8)

Где

Матрица системы (4.8) имеет вид.

На этом заканчивается прямой ход метода Гаусса.

Заметим, что в процессе исключения неизвестных приходится выполнять операции деления на коэффициенты и т.д. Поэтому они должны быть . В противном случае необходимо переставить уравнения системы соответствующим образом. Эта перестановка должна быть предусмотрена в вычислительном алгоритме при его реализации на компьютере. Обратный ход начинается с решения 3-го уравнения системы (4.8):

(4.9)

Используя это выражение, можно найти из 2-го уравнения, потом из 1-го.

(4.10)

(4.11)

Аналогично строится вычислительный алгоритм для СЛАУ с произвольным числом уравнений.

Алгоритм см. у Турчак и Плотников «основы численных методов» стр. 116. рис. 4.2.

Ввод

Для от 1 / прямой ход метода Гаусса /

/ i - № неизвестного /

да

нет

/ к - № уравнения из n-го исключ. /