6.8. Расстояние между двумя точками в пространстве

Пусть ‑ начальная точка отрезкаи‑ конечная точка. Тоскииможно задать радиус-векторамии, гдеи. Из треугольникаследует, что. Проектируя это векторное равенство на оси координат и учитывая свойства проекций, получим:

,,.

Из формулы получимрасстояние между двумя точкамии:

.

Пример. Ракета из пунктапрямолинейно переместилась в пункт. Найти путь, пройденный ракетой.

Решение.. Если найти направляющие косинусы вектора перемещения, нетрудно определить направление движения ракеты.

6.9 Действия над векторами в координатной форме

Пусть вектор задан проекциями на оси,,. Введём (орты) единичные векторы,,, направленные по осям координат, и построим параллепипед (рис.1), диагональю которого является вектор, тогда вектора,,будуткомпонентамивектораотносительно осей,,и

,,.

Подставим эти выражения в равенство

,

в результате получили координатную формулу вектора

.

Линейные операции над векторамитеперь можно записать в координатной форме.

Если и, то

1) ,

т.е. или,

при сложении (или вычитании) векторов их одноименные координаты складываются (вычитаются);

2) ,

т.е. и,

при умножении вектора на скаляр координаты вектора умножаются на этот скаляр.

6.10 Скалярное произведение векторов

Определение 1.Подскалярным произведением двух векторовипонимаетсячисло, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, т.е.

,

где .

Так как и(рис.1), то скалярное произведение можно записать в виде

.

Определение 2.Два вектораиназываются ортогональными, если угол между ними равен. Ортогональность векторовиобозначается.

Теорема (геометрическое свойство скалярного произведения).тогда и только тогда, когда.

Доказательство.Необходимость.Пусть, тогда.

Достаточность.Если, то. Возможны три случая:

1) ;

2) ;

3) .

Из этих случаев следует, что .□

Алгебраические свойства скалярного произведения.

1. .

2. .

3. .

4. .

Скалярное произведение в координатах.

Теорема.Если,, то

.

Доказательство.Так как,,,,,, то

.□

Так как и, то из теоремы вытекает, что

.

6.11. Векторное произведение.

Определение. Векторным произведениемвекторана векторназываетсявектор, если:

1) ;

2) и;

3) векторы образуют правую тройку.

Геометрические свойства векторного произведения.

Свойство 1.Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторовиявляется равенство их векторного произведения, т.е..

Доказательство.Необходимость.Пусть,,, тогда. Следовательно,и, поэтому, т.е.иколлинеарны.

Достаточность. Пустьиколлинеарны, тогдаиили. Поэтомуи. Так как только нулевой вектор имеет нулевую длину, то.□

Свойство 2.Абсолютная величина векторного произведения равна площади параллелограмма, образованного этими векторами, т.е..

Доказательство. .□

Алгебраические свойства векторного произведения.

1. (антиперестановочность).

2. (линейность).

3. .

4. .

Векторное произведение через координаты.

Теорема.Если в правой системе координат,, то

.

Доказательство.

,,,,,,,,.

.□

6.12. Смешанное произведение.

Определение.Смешанным произведениемтрёх векторовназываетсячисло:

,

т.е. скалярное произведение векторов и.

Свойства смешанного произведения.

Свойство 1.Есликомпланарные, то.

Доказательство.Пустькомпланарные. Запишем смешанное произведение этих векторов:

.

Рассмотрим случаи:

1. Если один из векторов нулевой, то.

2. Если,,и вектораи‑ коллинеарные, тои, следовательно,.

3. Пусть,,и вектораи‑ неколлинеарные. Тогда из того, что векторлежит в одной плоскости с векторамии, а векторперпендикулярен этой плоскости, вытекает, что векторыи‑ перпендикулярные (т.е.), поэтому

и.□

Свойство 2.Еслинекомпланарные, то приведя их к общему началу и построив на них параллепипед объема, получим, где

Доказательство.Из определения и свойств векторного произведения имеем:

,

где ‑ единичный вектор, такой, что,и тройка, а‑ площадь параллелограмма, построенного на векторахи.

.

Рассмотрим два случая.

1.Тройка‑ правая (рис.1), тогда угол‑ острый, т.е., и. Если‑ высота параллепипеда, построенного на векторах, то в этом случаеи.

2.Тройка‑ левая (рис.2), тогда угол‑ тупой, т.е., и. В этом случаеи.

Из рассмотренных случаев следует, что , где□

Свойство 3.Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке, т.е.

.

Доказательство.Пусть‑ некомпланарные.

Докажем, что .

По свойству 2, и. Так как циклическая перестановка не меняет ориентацию тройки, тои.

Равенство доказывается аналогично.□

Свойство 4.При перестановке двух соседних множителей, смешанное произведение меняет знак, т.е..

Доказательство.Пусть‑ некомпланарные. Докажем, что. По свойству 2,и. Так как нециклическая перестановка меняет ориентацию тройки, тои.□

Свойство 5..

Доказательство.Из свойства скалярного произведения следует, что. Поэтому надо доказать, что. Так как перестановка циклическая, то по свойству 3 это равенство выполняется.□

Смешанное произведение в координатах.

Теорема.Если в правой системе координат,,, то

.

Доказательство.По свойству 5,. Так как

,

то

.□