6.4. Компланарные векторы

Определение. Три вектораназываютсякомпланарными, если они или параллельны некоторой плоскости, или лежат на ней.

Теорема.Три ненулевых векторакомпланарны тогда и только тогда, когда один из них является линейной комбинацией других, т.е..

Доказательство.Необходимость. Пусть‑ компланарные, следовательно, лежат в одной плоскости. Приведём их к общему началу. Рассмотрим два случая.

1. ‑ попарно не коллинеарны (рис.7), тогда. Так какколлинеарен,коллинеарен, тои. Следовательно,.

2.‑ попарно коллинеарны, тогда, например, есликоллинеарен(рис.8), то.

Достаточность. Пусть выполняется равенство. Из определения сложения векторов следует, что векторлежит в одной плоскости с векторамии, поэтому‑ компланарные.□

6.5. Ориентация трех некомпланарных векторов в пространстве.

Тройка векторов называетсяупорядоченнойесли известно какой из них первый, второй, третий.

Определение 1.Упорядоченная тройка векторовимеетправую ориентацию, если:

1) ‑ некомпланарные;

2) после приведения векторов к общему началу, они располагаются так, что кратчайший поворот вектора к векторувиден против часовой стрелки из конца вектора(рис.10).

Определение 2.Упорядоченная тройка векторовимеетлевую ориентацию, если:

1) ‑ некомпланарные;

2) после приведения векторов к общему началу, они располагаются так, что кратчайший поворот вектора к векторувиден по часовой стрелке из конца вектора(рис.11).

Циклические перестановки векторов не меняют ориентацию и тройки. Например, еслиправая тройка, то тройки,‑ правые (рис.12).

Любая нециклическая перестановка меняет ориентацию тройки. Например, если‑ правя, то,,‑ левые (рис.13).

6.6. Проекция вектора на ось.

Осьюназывается направленная прямая.

Определение 1.Проекцией точкина осьназывается основаниеперпендикуляра, опущенного из точкина ось(рис.14).

Чтобы в пространстве найти проекцию точки на ось, нужно через точкупровести плоскостьперпендикулярную оси. Точка, пересечения плоскостии оси, будет искомой проекцией.

Определение 2.Компонентой вектораотносительно осиназывается вектор(рис.15), где‑ проекция на осьначалавектора, а‑ проекция на оськонцавектора.

Определение 3.Проекцией векторана осьназывается скаляр, равный длине компонентыотносительно оси, взятой со знаком «+», если направление компоненты совпадает с направлением оси, и со знаком « ‑ », если направление компоненты противоположно направлению оси. Проекция векторана осьобозначаетсяили.

Теорема.Проекция векторана осьравна произведению длинывектора на косинус угла между направлением вектора и направлением оси, т.е.

.

Доказательство.Пустьи.

1. Если угол ‑ острый, то направление компонентысовпадает с направление оси(рис.16а). Тогда.

2. Если угол ‑ тупой, то направление компонентыпротивоположно направлению оси(рис.16б). Тогда

.□

Свойства проекции.

1..

2..

6.7. Прямоугольные декартовые координаты в пространстве.

Длина и направление вектора

Пусть ,,‑ три взаимно перпендикулярные оси в трёхмерном пространстве (оси координат), исходящие из общей точки(начало координат), образуютправуютройку (т.е. для наблюдателя, находящегося по направлению оси, кратчайший поворот осик осипроисходит против часовой стрелки).

Для каждой точки пространства существует её радиус-вектор.

Определение 1.Под декартовыми прямоугольными координатами,,точкипонимаются проекции её радиус векторана соответствующие оси координат, т.е.,,. Точкас координатами,,обозначается, где‑абсцисса,‑ордината,‑аппликата.

Для нахождения координат, через точку проводятся три плоскости перпендикулярные осям,,. Тогда на этих осях получатся направленные отрезки (рис.1)

,,,

численно равные координатам точки .

Радиус-вектор ‑ диагональ параллепипеда, поэтому

.

Если обозначить ,,() углы, образованные радиус-векторомс координатными осями,,, то

,,.

,,называются направляющими косинусами радиус-вектора.

Так как

,

то и. Следовательно,

сумма квадратов направляющих косинусов радиус-вектора точки пространства равна 1.

Определение 2.Если в пространствезадан вектор, то проекции этого вектора на оси координат

,,

называются координатами вектора. При этом вектор записывается так:.

Так как вектор свободный, то его можно рассматривать как радиус-вектор точки. Отсюда получаем длину вектора

,

т.е. модуль вектора равен корню квадратному из суммы квадратов его координат.

Направляющие косинусы вектораопределяются из уравнений

,,,

т.е.

,,.

Пример. Найти длину и направление вектора.

Решение. ,,,.