Варианты домашней работы

А.

Выводимы ли в ИВ формулы:

(((ав)в)а); а(аа) ?

На множестве натуральных чисел N имеется два трёхместных предиката: S(x,y,z)=1 x+y=z, P(x,y,z)=1 x*y=z (x, y, z N). Используя эти предикаты записать формулу с одной свободной переменной x, истинную тогда и только тогда, когда а) x=0; б) x=1; в) x=2; г) x чётно; д) x нечётно; е) x - простое число.

Ё.

Доказать, что если в ИВ выводима формула В [(А, … , АВ], то формула ((А…А)В) тождественно истинна.

На множестве натуральных чисел N имеется два трёхместных предиката: S(x,y,z)=1 x+y=z, P(x,y,z)=1 x*y=z (x, y, z N). Используя эти предикаты записать формулу с двумя свободными переменными x и y, истинную тогда и только тогда, когда а) x=y; б) x<=y; в) x<y; г) x делит y; д) x и y - простые числа.

Ж.

Доказать, что следующие формулы выводимы в ИВ: а) (АА); б) (АА).

На множестве натуральных чисел N имеется два трёхместных предиката: S(x,y,z)=1 x+y=z, P(x,y,z)=1 x*y=z (x, y, z N). Используя эти предикаты записать формулу с тремя свободными переменными x, y и z, истинную тогда и только тогда, когда а) z – наименьшее общее кратное x и y; б) z – наибольший общий делитель x и y; в) z=max(x,y); г) z =min(x,y).

З.

Вывести в ИВ: а) (А(ВС)), (АВ), АС; б) (АВ),ВА; в) А,В(АВ).

На множестве натуральных чисел N имеется два трёхместных предиката: S(x,y,z)=1 x+y=z, P(x,y,z)=1 x*y=z (x, y, z N). Используя эти предикаты записать формулу, выражающую а) коммутативность сложения; б) ассоциативность сложения; в) коммутативность умножения; г) ассоциативность умножения; д) дистрибутивность сложения относительно умножения.

И.

Доказать для ИВ: а) Г, (АВ)А (удаление); б) Г,АА (удаление).

На множестве натуральных чисел N имеется два трёхместных предиката: S(x,y,z)=1 x+y=z, P(x,y,z)=1 x*y=z (x, y, z N). Используя эти предикаты записать формулу, выражающую а) бесконечность множества простых чисел (нет max и min); б) то, что всякое число есть сумма четырёх квадратов; в) наименьших общих кратных и наибольших общих делителей для чисел, отличных от нуля.

Й.

Доказать для ИВ: а) Г, (АВ)В (удаление); б)

Г, А С, Г, ВС

Г, (АВ)С

(удаление ).

На множестве натуральных чисел N имеется два трёхместных предиката: S(x,y,z)=1 x+y=z, P(x,y,z)=1 x*y=z (x, y, z N). Используя эти предикаты записать формулу, выражающую а) не существование единицы; б) конечность множества простых чисел; в) то, что всякое число можно представить в виде суммы двух квадратов; г) то, что для всякого числа существует строго меньшее число; д) существование наибольшего натурального числа. Истинны ли эти формулы?

К.

Доказать для ИВ: а) Г, А (ВА) (введение); б)

Г, А В, Г, АВ

Г А

(введение ).

На множестве натуральных чисел N имеется два трёхместных предиката: S(x,y,z)=1 x+y=z, P(x,y,z)=1 x*y=z (x, y, z N). Используя эти предикаты записать формулу, выражающую а) то, что всякое чётное число, большее двух, есть сумма двух простых; б) то, что для всякого числа существует строго большее число; в) то, что для всякого числа существует бесконечное множество строго больших его чисел.

Л.

Вывести: а) ((АА)А); б) АА;

На множестве натуральных чисел N имеется два трёхместных предиката: S(x,y,z)=1 x+y=z, P(x,y,z)=1 x*y=z (x, y, z N). Используя эти предикаты записать формулу, выражающую, что уравнение 3+2+1=0 имеет в точности два различных корня.

М.

Доказать для ИВ: а) Г, В (ВА) (введение); б) Г, В, А(ВА) (введение).

На множестве натуральных чисел N имеется два трёхместных предиката: S(x,y,z)=1 x+y=z, P(x,y,z)=1 x*y=z (x, y, z N). Используя эти предикаты записать формулу, выражающую, что система уравнений

не имеет решения.

Н.

Доказать, что следующие правила допустимы: а)

В, В, Г А

В, Г А

б)

Г, А, В, ГС

Г, В, А, ГС

Пусть М – множество точек, прямых и плоскостей с предикатами: Т(х)=1 х – точка, Пр(х)=1х – прямая, Пл(х)=1х – плоскость, Л(х,у) =1х лежит на у. С использованием этих предикатов записать формулы: а) через каждые две точки можно провести прямую; если эти точки различны, то такая прямая единственна; б) через каждые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести единственную плоскость; в) определение параллельных прямых; г) определение параллельных плоскостей.

О.

Вывести: а) В(АВ); б) (АВ)(ВА); в) (АВ)(ВА).

Пусть М – множество точек, прямых и плоскостей с предикатами: Т(х)=1 х – точка, Пр(х)=1х – прямая, Пл(х)=1х – плоскость, Л(х,у) =1х лежит на у. С использованием этих предикатов записать формулы: а) две прямые могут или не иметь общих точек, или иметь одну общую точку, или совпадать; б) Две плоскости не могут иметь конечное множество общих точек, а только бесконечное; в) две плоскости могут или не иметь общих прямых, или иметь одну общую прямую, или совпадать.

П.

Выводимы ли в ИВ формулы: а) ((АВ)(АС)); б) (АВ)(ВА)?

Для двуместного предиката R(x,y) записать, что он (предикат) а) рефлексивен; б) симметричен; в) транзитивен; г) R(x,y) - отношение эквивалентности.

Р.

Выводимы ли в ИВ формулы: а) (((АВ)В)В); б)((АА)(АА)).

Пусть М=Р(А) – множество-степень (множество всех подмножеств) некоторого множества А. Двуместный предикат Q(x,y)=1 xy. Записать, что а) x = yz; б) x = yz; в) x – пустое множество; г) x=A; д) x есть дополнение A.

С.

Выводом из каких множеств формул Г является следующая последовательность: ((АВ)(ВА)), (АВ), (ВА),В,А

Пусть М=Р(А) – множество-степень (множество всех подмножеств) некоторого множества А. Трёхместный предикат f(x,y,z)=1 xy=z. Трёхместный предикат g(x,y,z)=1 xy=z. Двуместный предикат = - предикат равенства двух подмножеств x и y. Используя эти три предиката, записать, что а) xy; б) x есть одноэлементное множество.

Т.

Выводом из каких множеств формул Г является следующая последовательность: (А(ВС)), А, (ВС), В, С.

Для двуместного предиката R(x,y) записать, что он (предикат) а) рефлексивен; б) антисимметричен; в) транзитивен; г) R(x,y) - отношение нестрогого порядка.

У.

Вывести: а) (АА); б) ((АВ)(ВА)).

Для двуместного предиката R(x,y) записать, что он (предикат) а) антирефлексивен; б) антисимметричен; в) транзитивен; г) R(x,y) - отношение строгого порядка.

Ф.

Является ли выводом в ИВ: (А(АВ)), ((А(АВ))(В(А(АВ)))), (В(А(АВ))).

На множестве натуральных чисел N имеется два одноместных предиката: g(x)=x+1, а P - произвольный одноместный предикат. Кроме того, имеется 0 (нуль). Использую всё вышеизложенное, записать аксиому индукции для P.

Х.

Являются ли выводами в ИВ: а) (А(АВ)); б) (А(ВА)), ((А(ВА))В), В?

Выбрать предикаты и записать: а) аксиомы полугруппы: существование ассоциативной бинарной операции на множестве, не выводящей из этого множества; б) коммутативной полугруппы; в) моноида – полугруппы с единицей.

Ц.

Вывести: а) (АВ), (ВС)(АС); б) (А(ВС))(В(АС)); в) (А(ВС))((АВ)С).

Выбрать предикаты и записать: а) аксиомы группы: существование ассоциативной бинарной операции на множестве, не выводящей из этого множества, наличие единицы и обратного элемента для каждого элемента из группы; б) абелевой (коммутативной) группы; в) циклической группы.

Ч.

Вывести: а) (АВ)((АС)(ВС));

б) (АВ)(СА)(СВ);

в) А(АВ).

Выполнимы ли следующие формулы: а) (x) P(x); б) (x) P(x); в) (x) (y) (Q(x,x) Q(x,y)); г) (x)(y) (P(x) P(y)); д) (x)(y) (Q(x,y) (z) R(x,y,z)); е) (P(x) (y) P(y))?

Ш.

Вывести: а) (АВ)((СА)(СВ));

б) (АВ)((АС)(ВС));

в) А(АВ).

Являются ли тождественно-истинными следующие формулы: а) ((x) P(x) (x) P(x)); б) ((x) P(x) (x) P(x)); в) ((x)(y) Q(x,y) (y)(x) Q(x,y)); г) ((x)(y) Q(x,y) (y)(x) Q(x,y))?

Щ.

Вывести: а) ((АВ)С)(А(ВС)); б) (АВ)((ВС)(АС)); в) (АВ)((СА)(СВ)).

Доказать тождественную истинность следующих формул: а) ((x) (A(x) (BC(x))) ((x)( A(x) C(x)) B)), где x не свободна в B; б) ((x)(A(x) B(x)) ((x) A(x) (x) B(x))).

Ы.

Вывести: а) (АВ)(ВА); б) (АВ)(ВА).

Доказать тождественную истинность следующих формул: а) ((x) P(x) (x) P(x)); б) (()x)(A(x) B(x)) ((x) B(x) (x) A(x))).

Ъ.

Доказать, что следующие правила допустимы в ИВ: а)

ГА ; Г,АВ

Г, ГВ

(сечение) б)

((А…А)В)

А, …, АВ

(удаление и).

Выбрать предикаты и записать три аксиомы расстояний: 1) d(a,b)>=0 и d(a,b)=0 тогда и только тогда, когда a=b. 2) d(a,b)=d(b,a). 3) d(a,b)+d(b,c)>=d(a,c) (неравенство треугольника). d(a,b) = расстояние от a до b.

Ь.

Доказать, что следующие правила допустимы в ИВ: а)

Г, (АВ)С

Г, А, В С

(расщепление посылок) б)

ГС ; С, ГВ

Г, ГВ .

Выполнимы ли следующие формулы: а) (x)(y) (P(x) P(y)); б) (x)(y)(z) (P(x) (Q(y) R(z))); в) (y)(x) (P(x) P(y)) ?

Э.

Доказать, что следующие правила допустимы в ИВ: а)

Г С

В, Г С

б) (разбор случаев) ;

Г, А С ; Г, ВС

Г, (АВ)С

Пусть М=Р(А) – множество-степень (множество всех подмножеств) некоторого множества А. Двуместный предикат Q(x,y)=1 xy. Записать, что а) x = y+z (симметрическая разность x и y); б) x = y \ z (разность x и y); в) x – одноэлементное подмножество.

Ю.

Доказать, что следующие правила допустимы в ИВ: а)

Г, АВ

Г, ВА

(контрапозиция) б)

Г, АС

Г, С А

(доказательство от противного).

Выбрать предикаты и записать теорему Поста: для того, чтобы система булевых функций {f, … , f},была полной, необходимо и достаточно, чтобы для каждого из классов T, T, S, L и M нашлась функция f из системы, не принадлежащая этому классу.

Я.

Доказать, что следующие правила допустимы в ИВ: а)

Г, А, ВС

Г, (АВ)С

(объединение посылок) б)

А, …, АВ

((А…А)В)

(введение и).

Выбрать предикаты и записать: а) аксиомы кольца: множества с двумя бинарными операциями - + и *. Относительно операции + кольцо является коммутативной группой, относительно операции * - полугруппой. В кольце дистрибутивность: (а+в)*с=а*с+в*с, с*(а+в)=с*а+с*в. Аксиомы группы: существование ассоциативной бинарной операции на множестве, не выводящей из этого множества, наличие единицы и обратного элемента элемента из группы; Аксиомы полугруппы: существование ассоциативной бинарной операции на множестве, не выводящей из множества;

Б.

Доказать, что если существует вывод пустого множества: А, …, А, то формула

(А…А) тождественно истинна.

Выбрать предикаты и записать: а) аксиомы кольца с единицей: множества с двумя бинарными операциями - + и *. Относительно операции + кольцо является коммутативной группой, относительно операции * - моноидом (полугруппой с единицей). В кольце дистрибутивность: (а+в)*с=а*с+в*с, с*(а+в)=с*а+с*в. Аксиомы группы: существование ассоциативной бинарной операции на множестве, не выводящей из этого множества, наличие единицы и обратного элемента для каждого элемента из группы; Аксиомы полугруппы: существование ассоциативной бинарной операции на множестве, не выводящей из множества;

В.

Доказать, что если формула В выводима ( В) , то формула В тождественно истинна.

Выбрать предикаты и записать теорему Лагранжа: порядок конечной группы делится на порядок своей подгруппы. Аксиомы группы: существование ассоциативной бинарной операции на множестве, не выводящей из этого множества, наличие единицы и обратного элемента для каждого элемента из группы;

Г.

Доказать, что каждая тождественно истинная формула А выводима в ИВ ( А) .

На множестве натуральных чисел N имеется два трёхместных предиката: S(x,y,z)=1 x+y=z, P(x,y,z)=1 x*y=z (x, y, z N). Используя эти предикаты записать формулу, выражающую а) то, что два числа x и y взаимно просты (не имеют общих делителей); б) то, что два числа x и y имеют хотя бы один общий делитель; в) все три числа x , y и z стоят в ряду натуральных чисел подряд: или x, y, z или y,z,x и т.д. (6 вариантов).

Д.

Доказать, что следующее правило допустимо в ИВ:

Г(АВ); Г, АС; Г,ВС

Г, Г, Г,С

(удаление ).

На множестве натуральных чисел N имеется два трёхместных предиката: S(x,y,z)=1 x+y=z, P(x,y,z)=1 x*y=z (x, y, z N). Используя эти предикаты записать формулу, выражающую, а) что число x = 2; б) что числоx не является степенью никакого числа; в) что из трёх чисел x , y и z какие-то два совпадают.

Е.

Доказать, что следующие правила допустимы в ИВ: а)

Г, А

Г, А

(введение ); б)

Г, А

Г, А

(удаление ).

Выбрать предикаты и записать теорему Кэли: всякая конечная группа порядка n изоморфна некоторой подгруппе симметрической группы S (группы подстановок). Подстановка – это биекция множества самого в себя. Аксиомы группы: существование ассоциативной бинарной операции на множестве, не выводящей из этого множества, наличие единицы и обратного элемента для каждого элемента из группы;