![](/user_photo/531_8n5hr.jpg)
- •Министерство образования и науки
- •Isbn 5-94506-100-х Контрольная работа по логике высказываний, нормальной форме формул, теореме Поста и минимизации формул
- •Варианты контрольной работы
- •Домашняя работа по исчислению высказываний и логике предикатов При решении задач по исчислению высказываний (ив) можно пользоваться одной из двух систем аксиом ив (двумя сразу нельзя):
- •Или а, авв. В
- •Варианты домашней работы
- •Литература
Министерство образования и науки
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Московский государственный институт электроники и математики
(Технический университет)
Кафедра «Вычислительные
системы и сети»
Методические указания к самостоятельным (домашней и контрольной) работам по курсу
«Математическая логика и теория алгоритмов»
Москва 2008
Учебное издание
Математическая логика и теория алгоритмов
Составитель: доц., канд. тех. наук Л.Е.Захарова
УДК 519.1
Предназначены для выполнения контрольной и домашней работ в части логики и исчисления высказываний, нормальной формы формул, полных систем булевых функций и теоремы Поста, минимизации формул и логики предикатов студентами II (дневного) курса специальности 22.0101.
Математическая логика и теория алгоритмов: Метод. указания к самостоятельным (домашней и контрольной) работам/ Моск. Гос. ин-т электроники и математики; Сост. Л.Е. Захарова. М., 2008. 23 с.
Ил. 1. Библиогр.: 3 назв.
Isbn 5-94506-100-х Контрольная работа по логике высказываний, нормальной форме формул, теореме Поста и минимизации формул
При решении задач по логике высказываний не более половины вариантов можно выполнить с помощью таблицы истинности, а лучше везде применять логические способы. Для этого понадобятся основные равносильности:
1).
АВ
В
А
коммутативность
2).
АА
А
идемпотентность
3).
А(В
С)
(А
В)
С
ассоциативность
4).
АВ
В
А
коммутативность
5).
АА
А
идемпотентность
6).
А(В
С)
(А
В)
С
ассоциативность
7) А(В
С)
(А
В)
(А
С)
дистрибутивность
относительно
8) А(В
С)
(А
В)
(А
С)
дистрибутивность
относительно
9). А(А
В)
А
первый закон поглощения
10). А(А
В)
А
второй закон поглощения
11).
А
А
снятие двойного отрицания
12).
(А
В)
А
В
первый закон Моргана
13).
(А
В)
А
В
второй закон Моргана
14). А(А
В)
(А
В)
первая формула расщепления
15). А(А
В)
(А
В)
вторая формула расщепления
Следующие равносильности выражают одни логические символы через другие:
16). А~В(А
В)
(В
А)
(А
В)
(
А
В)
17). АВ
А
В
(А
В)
18). АВ
А
В
(
А
В)
19). АВ
(А
В)
(
А
В)
Основные тавтологии, к которым сводятся тождественно истинные формулы с помощью равносильных преобразований:
1). АА
2). АА
3). А(В
А)
4). (АВ
((В
С)
(А
С))
цепное рассуждение
5). (А(В
С))
((А
В)
(А
С))
6). АВ
А;
А
В
В
7). А(В
(А
В))
8). А(А
В);
В
(А
В)
9). (В
А)
((
В
А)
В)
10). ((АВ)
А)
А
закон Пирса
При доказательстве
эквивалентностей или равносильностей
надо либо правую формулу равносильными
преобразованиями свести к левой, либо
левую к правой, либо обе к какой-то одной,
третьей формуле. Если требуется доказать
тождественную истинность формулы, то
её надо равносильными преобразованиями
свести к вышеизложенным тождествам.
Если заданий несколько, то не более
половины можно выполнить с помощью
таблицы истинности. Например, докажем
девятую равносильность:
А(А
В)
(А
А)
(А
В)
А
(А
В)
А.
Здесь использованы восьмая, вторая и
десятая равносильности.
Логические
символы
и
называют двойственными друг другу.
Рассмотрим формулы, содержащие только
эти логические символы и инверсию.
Формула А
двойственна
формуле А, если она получена из А
одновременной заменой
и
на двойственные.
Система булевых
функций называется полной, если любая
булева функция может быть выражена
через функции системы с помощью
суперпозиций. Например, система из трёх
функций {,
,
}
является полной. Если система функций
полная и любая из функций этой системы
может быть выражена с помощью суперпозиций
через функции второй системы функций,
то эта вторая система функций тоже
является полной. В общем случае для
проверки полноты системы функций надо
составлять таблицу Поста. Она нужна для
проверки теоремы Поста для этой системы:
Если система полная, то для каждого из
функционально замкнутых классовT
,
T
,S,
L
и M
найдётся функция из системы, не
принадлежащая этому классу. Например,
для системы {
,
,
}
таблица Поста имеет вид:
Функция |
T |
T |
S |
L |
M |
|
+ |
+ |
- |
- |
+ |
|
+ |
+ |
- |
- |
+ |
|
- |
- |
+ |
+ |
- |
![](/html/531/113/html_kyYLeey7pg.msNM/img-f6aK7w.png)
![](/html/531/113/html_kyYLeey7pg.msNM/img-Cys2dI.png)
![](/html/531/113/html_kyYLeey7pg.msNM/img-8ODT8T.png)
![](/html/531/113/html_kyYLeey7pg.msNM/img-5TXUI8.png)
![](/html/531/113/html_kyYLeey7pg.msNM/img-wqo2Hw.png)
![](/html/531/113/html_kyYLeey7pg.msNM/img-3NJhTk.png)
![](/html/531/113/html_kyYLeey7pg.msNM/img-TEDwIE.png)
![](/html/531/113/html_kyYLeey7pg.msNM/img-apdFc4.png)
![](/html/531/113/html_kyYLeey7pg.msNM/img-scruCy.png)
![](/html/531/113/html_kyYLeey7pg.msNM/img-3Afm4q.png)
![](/html/531/113/html_kyYLeey7pg.msNM/img-JzzOuA.png)
![](/html/531/113/html_kyYLeey7pg.msNM/img-OBy2Sj.png)
![](/html/531/113/html_kyYLeey7pg.msNM/img-LEWVLw.png)
![](/html/531/113/html_kyYLeey7pg.msNM/img-iuHMMT.png)
![](/html/531/113/html_kyYLeey7pg.msNM/img-QBVlDu.png)
![](/html/531/113/html_kyYLeey7pg.msNM/img-QnRMIg.png)
![](/html/531/113/html_kyYLeey7pg.msNM/img-hihlb6.png)
![](/html/531/113/html_kyYLeey7pg.msNM/img-P1NT2d.png)
![](/html/531/113/html_kyYLeey7pg.msNM/img-Ibikn1.png)
![](/html/531/113/html_kyYLeey7pg.msNM/img-blFqJa.png)
![](/html/531/113/html_kyYLeey7pg.msNM/img-e0AwyH.png)
![](/html/531/113/html_kyYLeey7pg.msNM/img-ZxZrAi.png)
![](/html/531/113/html_kyYLeey7pg.msNM/img-W65Ocn.png)
![](/html/531/113/html_kyYLeey7pg.msNM/img-3etrPB.png)
x |
y |
z |
f |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
![](/html/531/113/html_kyYLeey7pg.msNM/img-rXgCRV.png)
![](/html/531/113/html_kyYLeey7pg.msNM/img-8dGKOg.png)
![](/html/531/113/html_kyYLeey7pg.msNM/img-vkkoWE.png)
![](/html/531/113/html_kyYLeey7pg.msNM/img-cURgfr.png)
![](/html/531/113/html_kyYLeey7pg.msNM/img-DaNJ_N.png)
![](/html/531/113/html_kyYLeey7pg.msNM/img-20kp2u.png)
![](/html/531/113/html_kyYLeey7pg.msNM/img-0ylnHX.png)
![](/html/531/113/html_kyYLeey7pg.msNM/img-0rfcGD.png)
![](/html/531/113/html_kyYLeey7pg.msNM/img-9omFCE.png)
![](/html/531/113/html_kyYLeey7pg.msNM/img-diHucK.png)
![](/html/531/113/html_kyYLeey7pg.msNM/img-tnRdWp.png)
![](/html/531/113/html_kyYLeey7pg.msNM/img-lPKkNI.png)
![](/html/531/113/html_kyYLeey7pg.msNM/img-m9FMJ1.png)
![](/html/531/113/html_kyYLeey7pg.msNM/img-9ixOES.png)
![](/html/531/113/html_kyYLeey7pg.msNM/img-I2WW3J.png)
![](/html/531/113/html_kyYLeey7pg.msNM/img-t7CrCR.png)
![](/html/531/113/html_kyYLeey7pg.msNM/img-sxc_HB.png)
![](/html/531/113/html_kyYLeey7pg.msNM/img-0PRelr.png)
![](/html/531/113/html_kyYLeey7pg.msNM/img-A1pZAN.png)
![](/html/531/113/html_kyYLeey7pg.msNM/img-7Zup9W.png)
![](/html/531/113/html_kyYLeey7pg.msNM/img-OqcJ0f.png)
![](/html/531/113/html_kyYLeey7pg.msNM/img-isZoka.png)
![](/html/531/113/html_kyYLeey7pg.msNM/img-7F5H2o.png)
![](/html/531/113/html_kyYLeey7pg.msNM/img-vcH2cC.png)
![](/html/531/113/html_kyYLeey7pg.msNM/img-2WpnJy.png)
![](/html/531/113/html_kyYLeey7pg.msNM/img-YrcYBt.png)
![](/html/531/113/html_kyYLeey7pg.msNM/img-DheH2q.png)
![](/html/531/113/html_kyYLeey7pg.msNM/img-5GzJ3g.png)
![](/html/531/113/html_kyYLeey7pg.msNM/img-2622Dv.png)
![](/html/531/113/html_kyYLeey7pg.msNM/img-4rXoNb.png)
![](/html/531/113/html_kyYLeey7pg.msNM/img-2XA1Dh.png)
![](/html/531/113/html_kyYLeey7pg.msNM/img-_bKv9L.png)
![](/html/531/113/html_kyYLeey7pg.msNM/img-6fr4KR.png)
![](/html/531/113/html_kyYLeey7pg.msNM/img-hvpCiQ.png)
![](/html/531/113/html_kyYLeey7pg.msNM/img-73C147.png)
![](/html/531/113/html_kyYLeey7pg.msNM/img-QeLYav.png)
![](/html/531/113/html_kyYLeey7pg.msNM/img-Vks3QF.png)
![](/html/531/113/html_kyYLeey7pg.msNM/img-8gr97L.png)
![](/html/531/113/html_kyYLeey7pg.msNM/img-39Mp62.png)
![](/html/531/113/html_kyYLeey7pg.msNM/img-WCzlYD.png)
![](/html/531/113/html_kyYLeey7pg.msNM/img-maLKxX.png)
![](/html/531/113/html_kyYLeey7pg.msNM/img-Kd1HV0.png)
![](/html/531/113/html_kyYLeey7pg.msNM/img-DgRBhr.png)
![](/html/531/113/html_kyYLeey7pg.msNM/img-E3Ylzj.png)
Минимизация
проводится в классе ДНФ методом
минимизирующих карт. Функция должна
быть задана её таблицей истинности или
её СДНФ. Минимизирующая карта имеет
2строк,
гдеn
– число переменных функции, и на единицу
меньше столбцов. Например, для n=3:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
y |
|
|
y |
z |
|
|
y |
|
x |
|
|
x |
x |
|
x |
x |
|
z |
x |
x |
|
x |
x |
y |
|
x |
x |
y |
x |
x |
y |
z |
x |
x |
y |
x |
Использование
карты основано на следующем: если какая
то конъюнкция последнего столбца карты
не входит в СДНФ функции, то все конъюнкции
этой строки не входят ни в одну ДНФ
функции. Возьмём функцию f(x,y,z)=(xz)
(
y
z)
с таблицей истинности, представленной
выше. Далее убираем из карты строки,
соответствующие конъюнкциям, не вошедшим
в СДНФ функции:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
x |
x |
|
x |
x |
|
z |
x |
x |
|
x |
x |
y |
|
x |
x |
y |
x |
|
|
|
|
|
|
|
Вычеркнутые в этих строках конъюнкции убираем во всех остальных строках карты. В каждой строке оставляем конъюнкции с наименьшим числом сомножителей:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Видно, что
y
z
и x
z
обязательно войдут в ответ, так как они
остались по одному в строке, они же
составят результат.