Домашняя работа по исчислению высказываний и логике предикатов При решении задач по исчислению высказываний (ив) можно пользоваться одной из двух систем аксиом ив (двумя сразу нельзя):
А1.
А
(В
А)
1.
А
(В
А)
А2.
(А
(В
С))
((А
В)
(А
С))
2.
(А
В)
((А
(В
С))
(А
С))
А3.
(
В
А)
((
В
А)
В)
3.
А
В
А
4.
А
В
В
5.
А
(В
(А
В))
6.
А
(А
В)
7.
В
(А
В)
8.
(А
С)
((В
С)
((А
В)
С))
9.
(А
В)
((А
В)
А)
10.
А
А
При использовании
системы аксиом
вывод будет короче. Вывод в ИВ – это
последовательность формул, где каждая
формула или аксиома, или теорема, или
гипотеза, или получена по правилу вывода.
Правило выводаm.p.:
Если в выводе есть две формулы вида А
В
и А, то после них в выводе можно писать
формулу В. Считается, что формула В
получена по правилуm.p.
из формул А и А
В.
Правило записывается так:А,
А
В
Или а, авв. В
Выводом формулы
А считается вывод, в котором формула А
является последней. Если в выводе формулы
А отсутствуют гипотезы, то формула А
называется теоремой ИВ. Все аксиомы
являются как бы схемами аксиом, в них
вместо формул А, В и С можно корректно
подставить любые формулы. Если формула
А заменяется другой формулой, то сразу
во всей аксиоме. В выводе можно применять
теорему о дедукции ИВ: если Г, А
В,
то Г
А
В
и два её следствия: 1. А
В,
В
С
А
С.
Построим вывод формулы А
С.
1) А
В
– гипотеза № 1; 2) В
С
– гипотеза № 2; 3) А – гипотеза № 3; 4) В
получена поm.p.
из первого и третьего шагов (из 1) и 3) );
5) С получена по m.p.
из 2) и 4). Вывод формулы С имеет длину
пять. В итоге получили: А
В,
В
С,
А
С. Применяем
теорему о дедукции ИВ, переносим формулу
А вправо и получаем: А
В,
В
С
А
С.
Следствие 2: А
(В
С),
В
А
С.
Вывод длиной 5: А
(В
С);
В; А; В
С;
С. Четвёртый шаг получен поm.p.
из первого и третьего шагов, а пятый –
из второго и четвёртого. Получили
А
(В
С),
В, А
С,
применяя дедукцию, получим второе
следствие. Следствия можно считать ещё
двумя правилами вывода. В правилах
вывода тоже, как и в аксиомах, можно
корректно одновременно во всём правиле
вывода одну формулу заменять другой.
Правило m.p.
может быть записано и так:
,
.
При выводе
можно использовать 7 теорем ИВ: Т1.
А
А.
Т2. А
А.
Т3.
А
(А
В).
Т4. (
В
А)
(А
В).
Т5. (А
В)
(
В
А).
Т6. А
(
В
(А
В)).
Т7. (А
В)
((
А
В)
В).
В теоремах ИВ, в том числе и в теореме о
дедукции и её следствиях, формулы С, А
и В так же могут быть корректно заменены
другими.
Для примера
получим ещё одно правило вывода:
А,
В
А
В.
В пятую теорему вместо формулы А поставим
формулу В, а вместо В поставим А и получим:
(В
А)
(
А
В).
Теоремы и аксиомы можно вставлять в
любое место вывода. Теперь вывод формулы
В
длиной 5:
А;
В
А;
(В
А)
(
А
В);
А
В;
В.
Четвёртый шаг вывода получен поm.p.
из второго и третьего шагов, а пятый –
из первого и четвёртого. Все три вновь
полученные правила вывода можно
применять, как и правило m.p.,
наряду с теоремой о дедукции.
Во втором
задании по логике предикатов надо
написать всё, что требуется в задании
с использованием логики предикатов.
Никакой дополнительной информации для
выполнения задания не требуется, всё
есть в самом задании. Например: на
множестве натуральных чисел N
имеется два трёхместных предиката:
S
(x,y,z)=1
x+y=z,
P
(x,y,z)=1
x*y=z
(x,
y,
z
N).
Используя эти предикаты записать формулу
с одной свободной переменной x,
истинную тогда и только тогда, когда
x
делится на три. Ответ: F(x)=(
z)(
S
(z,z,y)
S
(z,y,x)).
z+z=y
и y+z=x,
значит x=3
z.
А можно и так: F(x)=(
z)
P
(3,z,x)
– это тоже правильно.
Теорема Ферма
утверждает, что для любого целого n>2
не существует натуральных чисел x,
y
и z,
удовлетворяющих равенству: x
+y
=z
.Этому
равенству поставим в соответствие
предикат R
(x,y,z,n)
на множестве натуральных чисел, истинный
тогда и только тогда, когда равенство
выполняется. (n>2)
запишем, используя предикаты предыдущего
примера: (
z)
S
(3,z,n).
Теорему Ферма можно записать так: ((
z)
S
(3,z,n))
R
(x,y,z,n).
Докажем теорему
ИВ
А
A,
т.е. выведем
А
A
из пустой системы гипотез (
А
A),
или, другими словами только из аксиом
и теорем ИВ. 1) A
(
A
A)
(
7);
2)
A
(
A
A)
(
6);
3) (A
(
A
A))
((
A
(
A
A))
(
А
A))
(Т7); 4) (
A
(
A
A))
(
А
A)
(m.p.
1) и 3)); 5)
А
A
(m.p.
2) и 4)).