Варианты контрольной работы

1.

Обосновать метод доказательства «разбором случаев»:

Привести пример такого доказательства

Построить формулу от трёх переменных, которая принимает то же значение, что и большинство (меньшинство) переменных. Для четырёх переменных – большинство (меньшинство) и равное количество.

2.

Доказать тождественную истинность формул:

По СКНФ формул А и В построить СКНФ и СДНФ формулы

3.

Доказать, что: а) если (АВ) и () тождества, то и (СВ) тождество; б) если (АВ) и (Аи (ВД) тождества,, то (СД) тождество; в) если (АВ) и () тождества, то и (Атождество;

По СКНФ формул А и В построить СКНФ и СДНФ формулы А~В.

4.

При каких значениях переменных формула истинна:

Построить формулу А такую, чтобы данная формула была тождеством: А)

Б)

5.

При каких значениях переменных формулы истинны:

А) ;

Б) );

В) .

Найти СКНФ и СДНФ

а)

б)

6.

Доказать эквивалентности:

А) ;

Б) ;

Привести к ДНФ и КНФ:

а)

б)

К.

Доказать, что если АВ иАС тождества, то и ВС тождество.

Найти СДНФ и СКНФ: а) (авс)(аас)(асс); б) (ав) ( ас); в) (ав)(ав).

Л.

При каких значениях переменных формула истинна: ((АВ)(АС)(СВ)) ((АВ)С) ?

Привести к ДНФ и КНФ: а) (авс)(аас)(асс); б) (ав) ( ас); в) (ав)(ав).

У.

Доказать тождественную истинность формул: а) (АВ)(ВА); б)(АВ)((СА)(СВ)); в) ((АВ)А)А; г)А(АВ);

По СДНФ формул А и В построить а) СКНФ и СДНФ формулы АВ; б) СКНФ и СДНФ формулы АВ;

Ф.

Доказать тождественную истинность формул: а) (PQ) (QP)); б) (PQ) (PQ)); в) (P(Q(PQ))); г) ((PQ) ((QR) (PR)));

По СКНФ формул А и В построить а) СКНФ и СДНФ формулы АВ; б) СКНФ и СДНФ формулы АВ;

Х.

Доказать следующие равносильности: а) (АВ)АВ; б) (АВ)(АС)(ВД)(СД)(АД)(ВС); в) А(АС)(ВС)(АВ)(АС);

Построить формулу от трёх переменных, истинную тогда и только тогда, когда ровно две переменных ложны. То же для четырёх переменных.

Ч.

При каких значениях переменных x, y, z, u, w, v следующие формулы ложны: а) (((x(yz)) (yx)) y); б) (((xy) z) ((xy) (xz))); в) ((xy) ((xy) (xy)));

Привести к ДНФ и КНФ: а) (АВ)(ВС); б)((АВ)(ВА)); в) (АВ)~(В~С); г) ((АВ)(СА))(ВС);

Ш.

При каких значениях переменных x, y, z, u, w, v следующие формулы ложны: а) ((xy) (xz) (yz) (uv) (uw) (vw) (xu)); б) (((xy) ((yz) (zx))) ((xy) z));

Найти СДНФ: а) (АВ)(ВС); б)((АВ)(ВА)); в) (АВ)~(В~С); г) ((АВ)(СА))(ВС);

Щ.

Доказать тождества: а) (а~в) (в~с)(а~с); б) (а~в)~((ав)(ва));

Найти СКНФ: а) (АВ)(ВС); б)((АВ)(ВА)); в) (АВ)~(В~С); г) ((АВ)(СА))(ВС);

Z.

При каких значениях переменных p,q,r следующие формулы ложны:

а) ((pq) (p(qp))); б) ((p(qp)) (pr)); в) ((p(qp)) p); г) (((pq)q) (pq));

Привести к ДНФ и КНФ: а) ((АВ)((ВС)(АС))); б) (((АВ)А)(А(ВА))); в) (((АВ)А)((АВ)В)).

Q.

При каких значениях переменных p,q,r следующие формулы истинны: а) ((p(qp)) ((qp) q)); б) (pq) (pq); в) (((pq) (pr)) (p(qr)));

По СКНФ формулы А построить а) СДНФ формулы А(двойственной к А); б) СКНФ и СДНФ формулыА;

S.

Найти СКНФ: а) ((АВ)((ВС)(АС))); б) (((АВ)А)(А(ВА))); в) (((АВ)А)((АВ)В)).

Доказать, что совокупность функций, двойственных функциям из функционально замкнутого класса, образует функционально замкнутый класс.

R.

Найти СДНФ: а) ((АВ)((ВС)(АС))); б) ((АВ)А)(А(ВА)); в) ((АВ)А)((АВ)В).

Доказать, что пересечение двух функционально замкнутых классов есть функционально замкнутый класс.

Г.

Построить формулу от трёх переменных, истинную в том и только в том случая, когда большинство (меньшинство) переменных ложно. Для четырёх переменных – большинство (меньшинство) и равное количество.

Доказать, что из всякой нелинейной функции и функций 0 и 1 можно получить суперпозициями функцию конъюнкции.

Д.

Построить формулу А такую, чтобы данная формула была тождественно-ложной: А)

;

Б);

Доказать, что единственными полными системами из одной двуместной булевой функции являются системы, содержащии одна функцию Шеффера, а другая функцию Вебба (стрелку Пирса).

Е.

Построить формулу Q от переменных A, B, C так, чтобы

(было эквивалентно) и

Проверить полноту систем булевых функций: а) {+, ~}; б) {0, } ; в) {}; г) {~,, 0}. Будут ли эти системы функций независимыми.

Ё.

Привести к ДНФ и КНФ: а)

б)

Проверить полноту систем функций: а) {, 0}; б) {+, , 1};

в) {~, }.

Ж.

Привести к ДНФ и КНФ: а)

и б)

Проверить полноту систем функций: а) {, 1}; б) {+, , 0};

в) {, }.

З.

Найти СДНФ и СКНФ: а)

б)

Проверить полноту систем функций: а) {, 1}; б) {+, 0};

в) {,, }.

И.

Найти СДНФ и СКНФ: : а)

и б)

Доказать независимость систем функций: а) {, +}; б) {}, гдеx y = (y x).

Й.

Построить формулу Q от переменных A, B, C так, чтобы

и

были тождественно-ложными.

Проверить полноту систем функций: а) {, 1}; б) {+,, 0};

в) {,}, гдеx y = (y x).

Ъ.

Построить формулу Q от переменных A, B, C так, чтобы а) (AQ)~(AB) и (AQ)~(AC) (было эквивалентно); б) (CQ)~(C(AB)) и (QC)~( (AB) C);

Методом минимизирующих карт найти минимальную ДНФ для

(xyz) (yt) (xt) (yt)

Ы.

.По СДНФ формул А и В построить СКНФ и СДНФ формулы А~В.

Привести пример полной системы функций, состоящей из одной трёхместной функции (f(x,y,z)).

Ь.

По СДНФ формул А и В построить СКНФ и СДНФ формулы

Доказать, что число самодвойственных функций от n переменных равно 2.

Э.

Найти СДНФ: а) (СА)((ВС)А); б) (((АВ)А)(А(ВС))); в) ((А(ВС))((АВ)С)).

Составить релейно-контактные схемы для функций, считая xy=xy : а) ((xy) (yz)) (xz); б) (xy) (x(yz));

Ю.

Привести к ДНФ и КНФ: а) (СА)((ВС)А); б) (((АВ)А)(А(ВС))); в) ((А(ВС))((АВ)С)).

Составить релейно-контактные схемы для функций, считая xy=xy : а) (xy) (yz); б) (x(yz)) (yx).

Я.

Найти СДНФ: а) (СА)((ВС)А); б) (((АВ)А)(А(ВС))); в) ((А(ВС))((АВ)С)).

Проверить полноту систем функций: а) {+, 1}; б) {,};

в) {,}.

М.

Проверить правильность следующего рассуждения. Если Джонс не встречал Смита этой ночью, то либо Смит был убийцей, либо Джонс лжёт (т.е. встречал). Если Смит не был убийцей, то Джонс не встречал Смита этой ночью и убийство имело место после полуночи. Если убийство было совершено после полуночи, то либо Смит был убийцей, либо Джонс лжёт. Значит Смит был убийцей.

Выразить с помощью суперпозиций: а) через 1, +, ; б),через, ; в) через 0, ; г) ,,через ! (штрих Шеффера: а!в=ав); д), через ,;

Н.

Доказать выполнимость формул a) (pp); б)(pq) (qp); в) (q (pr)) ((pr) q)

Методом минимизирующих карт найти минимальную ДНФ для а) (xy) (yz) (xz); б) (xyz) (xyz);

О.

Доказать следующие эквивалентности: а) ((АВ)(ВС)(СА))~((АВ)(ВС)(СА)); б) ((АВ)(ВС)(СД))~((АС)(ВС)(ВД));

Методом минимизирующих карт найти минимальную ДНФ для

(xy) (xyt) (yzt)

П.

Доказать следующие эквивалентности: а) (А(ВВ))~А; б) (А(ВВ))~А; в) (АА)~А; г) (АВ)(АВ)~А;

Методом минимизирующих карт найти минимальную ДНФ для

(xyz) (xyt) (yzt) (yzt) (xyz)

Р.

Доказать следующие эквивалентности: а) ((АВ)((АВ)(АВ)))~(АВ); б) (А(АВ))~(АВ); в) (А(АВС))~А;

Методом минимизирующих карт найти минимальную ДНФ для f(x,y,z), равной 1 только на оценках: <1, 1, 1>, <1, 0, 1>, <0, 0, 1>, <0, 0, 0>.

С.

Доказать тождественную истинность формул: а) (P(QP)); б) (PP); в) ((PQ) ((P(QR)) (PR))); г)((PQ) P);

Методом минимизирующих карт найти минимальную ДНФ для а)

(xyz) (xy) (yz); б) (xy) (xyz)

Т.

Доказать тождественную истинность формул: а) ((PQ) Q); б) (P(PQ)); в)(QP) ((QP) Q);

Методом минимизирующих карт найти минимальную ДНФ для

x (xy) (xyz) (xyzt)

Ц.

Доказать следующие равносильности: а) ААА; б) (АВ)(АС)(ВД)(СД)(АД)(ВС); в)А(АВ)АВ;

Доказать, что число линейных функций от n переменных равно 2.

7.

При каких значениях переменных формулы истинны: А) Б)

В)

Доказать, что нельзя выразить с помощью суперпозиций: а) импликацию через инверсию и эквиваленцию; б) инверсию через импликацию.

8.

При каких значениях переменных формулы ложны: А)

Б)

Представить многочленом Жигалкина импликацию и эквиваленцию.

9.

Пусть формула А не содержит никаких логических символов, кроме ~. Доказать, что А является тождественно-истинной тогда и только тогда, когда каждая переменная входит в А чётное число раз.

Доказать, что из всякой несамодвойственной функции и функции инверсии можно получить суперпозициями функции 0 и 1.

А.

Пусть формула А не содержит никаких логических символов, кроме ~ и . Доказать, что А является тождеством тогда и только тогда, когда каждая переменная и символвходят в А чётное число раз.

Доказать, что объединение функционально замкнутых классов может не быть функционально-замкнутым.

Б.

Доказать эквивалентность:

Доказать, что следующие классы не являются функционально замкнутыми: а) класс функций от трёх переменных; б) класс функций, сохраняющих 0, но не сохраняющих 1.

В.

Записать составные высказывания в виде формул, употребляя высказывательные переменные для обозначения высказываний: а) Для того, чтобы x было нечётным, достаточно, чтобы оно было простым; б) если идёт дождь, то дует ветер; в) если дует ветер, то идёт дождь; г) ветер дует тогда и только тогда, когда идёт дождь; д) неверно, что ветер дует тогда и только тогда, когда нет дождя; е) Таня ходит в театр только тогда, когда там показывают пьесу из современной жизни.

Доказать, что из всякой немонотонной функции и функций 0 и 1 можно получить суперпозициями функцию инверсии.

J.

При каких значениях переменных p,q,r следующие формулы истинны:

а) ( (pq) (p(qr))); б) ((r(qp)) (pr)); в) ((r(qp)) p); г) (((pq)q) (rq));

Построить две булевы функции от четырёх переменных А, В, С, Д, аналогичные функции Вебба (АВ) и штриху Шеффера (АВ). Доказать, что каждая из этих четырёхместных функций будет полной системой.

G.

При каких значениях переменных p,q,r следующие формулы ложны: а) ((p(qr)) ((qp) r)); б) (pq) (rq); в) (((rq) (pr)) (p(qr)));

Доказать, что для класса всех булевых функций базисами являются функция Вебба (АВ) и штрих Шеффера (АВ). Выразить через них все функции полной системы {,,}.