Матричное дифференцирование Определения

 Производной скалярной функции по вектору-столбцу() или, другими словами, градиентом является вектор-столбец ()

.

 Производной скалярной функции по вектору-строке() является вектор-строка ()

.

 Производной векторной функции () по вектору() или, другими словами, матрицей Якоби является матрица ()

.

Производной векторной функции () по вектору() или является матрица ()

.

 Производной скалярной функции по матрице () является матрица ()

.

 Производной матричной функции по скаляруs является матрица ()

.

 Второй производной скалярной функции по вектору-столбцу() или другими словами, матрицей Гессе является матрица ()

.

Свойства

 и .

 и .

 .

 .

 и .

 . Для симметричной матрицы .

 .

 .

 .

 и .

 юю.

лббььбььлб



 .

 .

 .

 .

 .

 .

 .

 .

 .

 .

Сведения из теории вероятностей и математической статистики Характеристики случайных величин Определения

Функцией распределения случайной величины называется функция, сопоставляющая числувероятность того, чтоне превышает. Функция распределения полностью характеризует отдельную случайную величину.

Если случайной величина непрерывна, то она имеет плотность, которая связана с функцией распределения соотношениями.

Квантилью уровня , где, (-квантилью) непрерывной случайной величиныназывается число, такое что.

Медианой называется-квантиль.

Модой непрерывной случайной величины называется величина, при которой плотность распределения достигает максимума, т.е. .

Если распределение непрерывной случайной величины симметрично относительно нуля, т.е.и, то двусторонней-квантилью называется число, такое что.

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины называется.

Математическое ожидание является начальным моментом первого порядка. Начальным (нецентральный) моментом -го порядка называется.

Центрированной случайной величиной называется .

Центральным моментом -го порядка случайной величиныназывается начальный момент-го порядка для соответствующей центрированной величины, т.е.. Для непрерывной случайной величины центральный момент-го порядка равен.

Дисперсией случайной величины называется центральный момент второго порядка. Для непрерывной случайной величины дисперсия равна . Среднеквадратическим отклонением называется корень из дисперсии.

Нормированной (стандартизованной) случайной величиной называется .

Коэффициентом асимметрии называется начальный момент третьего порядка нормированной случайной величины, т.е. .

Куртозисом называется начальный момент четвертого порядка нормированной случайной величины, т.е. . Коэффициентом эксцесса называется.

Для n-мерного случайного вектора (многомерной случайной величины) функцией распределения называется.

Если распределение случайного вектора непрерывно, то он имеет плотность(называемую совместной плотностью случайных величин), которая связана с функцией распределения соотношениями.

Случайные величины называются независимыми (в совокупности), если.

Ковариацией случайных величин иназывается.

Корреляцией случайных величин иназывается.

Ковариационной матрицей n -мерной случайной величины.называется.

Корреляционной матрицей n -мерной случайной величины.называется