Новосибирский Государственный Университет, 2 курс экономического факультета

Эконометрия-I

ПОВТОРЕНИЯ

Матричная алгебра Определения

называется вектором-столбцом размерности .

называется вектором-строкой размерности .

называется матрицей размерности .

 Сумма матриц и ():,()

 Произведение матриц () и ():,()

 Скалярное произведение векторов-столбцов () и ():.

 Квадратичная форма вектора-столбца ()и матрицы():.

 Произведение матрицы () на скаляр :,()

 Транспонирование матрицы ():,()

 След матрицы ():.

 Рангом () матрицыназывается количество линейно независимых столбцов (равное количеству линейно независимых строк). Матрица() имеет полный ранг по столбцам, если. Матрица() имеет полный ранг по строкам, если.

 Матрица () называется невырожденной (неособенной), если. В противном случае она называется вырожденной.

 Матрица () называется диагональной, еслипри. Для диагональной матрицы используется обозначение.

 Матрица () называется единичной.

 Матрица () называется симметричной (симметрической), если.

 Матрица () называется верхней треугольной, еслипри. Матрица() называется нижней треугольной, еслипри.

 Матрица () называется обратной матрицей к матрице(), если

.

 Матрица () называется идемпотентной, если.

 Векторы-столбцы () и () называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю:.

 Матрица (), где, называется ортогональной, если ее столбцы ортогональны, т.е..

 Матрица () называется положительно определенной, если для любого вектора-столбца() выполняется. Матрица() называется отрицатльно определенной, если для любого вектора-столбца() выполняется.

 Матрица () называется положительно полуопределенной (неотрицательно определенной), если для любого вектора-столбца() выполняется. Матрица() называется отрицательно полуопределенной (неположительно определенной), если для любого вектора-столбца() выполняется.

 Определителем матрицы ()называется, где— номер любой строки, а матрицы() получены из матрицыпутем вычеркивания-й строки и-го столбца.

 Для матрицы () уравнениеназывается характеристическим уравнением. Решение этого уравнения,называется собственным числом (собственным значением) матрицы. Вектор() называется собственным вектором матрицы, соответствующим собственному числу, если.

 Прямое произведение (произведение Кронекера) матриц () и ():

, ().

Свойства матриц

Сложение матриц

 (коммутативность).

 (ассоциативность).

Произведение матриц

 В общем случае (свойство коммутативности не выполнено).

 (ассоциативность).

 и (дистрибутивность).

 для матрицы ().

 .

Ранг

 Для матрицы () выполнено.



 Если матрица () является невырожденной, то для матрицы() выполнено. Если матрица() является невырожденной, то для матрицы() выполнено.

 .

Cлед

 .

 .

 .

 .

 .

 .

 .

 , где матрица () имеет полный ранг по столбцам, т.е..

 , где и— квадратные матрицы.

Транспонирование

 .

 .

Определитель

 Для матрицы ().

 .

 .

 для матрицы ().

 .

 .

 Если матрица () является треугольной (например, диагональной), то.

 .

 .

 для матрицы () и векторов-столбцов().

 , где и— квадратные матрицы.

 , где и— квадратные невырожденные матрицы.

 Матрица () является невырожденной () тогда и только тогда, когда.

Обращение

 Если обратная матрица существует, то она единственна (в частности, левая и правая обратная матрица совпадают).

 Матрица () имеет обратную () тогда и только тогда, когда она является невырожденной ().

 Матрица () имеет обратную () тогда и только тогда, когда.

 Обозначим через элементы обратной матрицы. Тогда

, где () получены из матрицыпутем вычеркивания-й строки и-го столбца.

Во всех приводимых ниже формулах предполагается, что существуют обратные матрицы там, где это требуется.

 Для матрицы ().

.

 .

 .

 .

 Если () — ортогональная матрица, то.

 Для диагональной матрицы выполнено.

 .

 .

 .

 , где и— квадратные матрицы.

 , где и— квадратные матрицы.

Положительно определенные матрицы

 Если матрица положительно определенная, то . Если матрица положительно полуопределенная, то .

 Если матрица положительно (полу-)определенная, то матрицаотрицательно (полу-)определенная.

 Если матрица положительно определенная, то обратная матрицатакже положительно определенная.

 Если матрицы иположительно (полу-)определенные, то матрицыитакже положительно (полу-)определенные.

 Если матрица положительно определенная, аположительно полуопределенная, то. Еслиположительно определенная, то.

 Матрицы и () являются симметричными положительно полуопределенными для любых матриц() и().

 Если матрица () имеет полный ранг по столбцам, то матрица () симметричная положительно определенная. Если матрица() положительно определенная, а матрица() имеет полный ранг по столбцам, то матрица () симметричная положительно определенная.

 Если матрица () положительно полуопределенная, то существует верхняя треугольная матрица(), такая что. Также существует нижняя треугольная матрица(), такая что. Такое представление матрицы называется разложением Холецкого (триангуляризацией).

Идемпотентные матрицы

 Если матрица идемпотентная, то матрицатоже идемпотентная, причем.

 Если матрица симметричная и идемпотентная, то .

 Матрицы иявляются симметричными и идемпотентными для любой матрицы(), имеющей полный ранг по столбцам. При этоми.

Собственные числа и векторы

 Для матрицы ()является многочленом-й степени (характеристическим многочленом) и имееткорней,(среди которых могут быть кратные). По определениюявляются собственными числами матрицы.

 У матрицы () существует не большеразличных собственных чисел.

 Если — собственный вектор матрицы, соответствующий собственному числу, то для любого скаляратоже собственный вектор, соответствующий собственному числу.

 Если — собственные числа матрицы, то.

 Если — собственные числа матрицы, то.

 Если матрица идемпотентная, то все ее собственные числа равны 0 или 1.

 Все собственные числа вещественной симметричной матрицы вещественны.

 Если и— собственные векторы вещественной симметричной матрицы, соответствующие двум различным собственным числам, то они ортогональны:.

 Если матрица () является вещественной и симметричной, то существуют матрицыи, где() — ортогональная матрица (), столбцы которой — собственные векторы матрицы, а() — диагональная матрица, состоящая из соответствующих собственных чисел матрицы, такие что выполнено.

 Если матрица () является вещественной, симметричной, невырожднной, то.

 Вещественная симметричная матрица является положительно полуопределенной (определенной), тогда и только тогда, когда все ее собственные числа неотрицательны (положительны). Вещественная симметричная матрица является отрицательно полуопределенной (определенной), тогда и только тогда, когда все ее собственные числа неположительны (отрицательны).

 Если матрица () является вещественной, симметричной и положительно полуопределенной, то, где() — вещественная, симметричная и положительно полуопределенная матрица.

 Пусть — собственные числа вещественной симметричной матрицы(). Тогда собственый вектор, соответствующий наибольшему собственому числу, является решением решением задачи

 Пусть — собственные числа вещественной симметричной матрицы(). Тогдаи.

Произведение Кронекера

 и .

 .

 .

 .

 .

 .

 для матриц () и().

 .

