4. Класс монотонных функций

Рассмотрим множество двоичных слов длины . Зададим на этом множестве отношение порядка (предшествования) следующим образом: будем говорить, что слово

предшествует слову

,

если

.

Тот факт, что слово предшествует слову будем обозначать .

Отношение предшествования удовлетворяет аксиомам рефлексивности, антисимметричности и транзитивности.

Например, 001011, 001001111111.

Слова 01 и 10 не находятся в отношении предшествования. Такие слова называются несравнимыми.

Отношение “” можно представить в виде ориентированного графа. Для имеем следующий граф:

111

Рис. 1. Представление отношения предшествования в виде ориентированного графа

Слово предшествует слову , если от к можно пройти по стрелкам.

Функция называется монотонной, если для любых наборов переменных и выполняется условие

,

то есть значение функции на меньшем наборе не превосходит значения функции на большем наборе.

Очевидно, что функция, равная монотонной функции, также является монотонной.

Например, монотонными функциями будут 0, 1, , , .

Обозначим через множество всех монотонных функций. Покажем, что класс монотонных функций замкнут.

Лемма 3. Суперпозиция функций из класса является функцией класса .

Доказательство. Доказательство леммы проведем на примере конкретной суперпозиции, рассуждение для общего случая будет аналогичным.

Пусть , где . Покажем, что . Рассмотрим два сравнимых набора значений аргументов функции :

.

Тогда , и в силу монотонности имеет место неравенство

.

Отсюда и в силу монотонности имеет место неравенство

.

В результате имеем

Таким образом, . Лемма доказана.

Будем называть наборы и соседними по -ой координате , если

, .

Докажем теперь лемму о немонотонной функции.

Лемма 4. Из немонотонной функции путем подстановки констант на места некоторых аргументов можно получить отрицание.

Доказательство. Пусть . Это значит, что

.

Покажем, что для функции найдется пара соседних наборов, для которых нарушается условие монотонности. Очевидно, пару соседних наборов и , для которых , всегда можно связать цепочкой соседних наборов. Возьмем пару соседних наборов , , для которых

, .

Рассмотрим функцию одного аргумента

.

Имеем

.

Так как , а , то . Лемма доказана.

5. Класс линейных функций

Последним классом является класс всех линейных функций.

Функция называется линейной, если ее многочлен Жегалкина содержит только члены степени не выше первой:

.

Класс , очевидно, содержит константы 0 и 1, тождественную функцию , отрицание , сумму по mod 2 . Дизъюнкция – нелинейная функция. Нелинейной также является конъюнкция , многочлен Жегалкина которого имеет вид .

Очевидным является следующее утверждение относительно замкнутости класса .

Лемма 5. Суперпозиция линейных функций является линейной функцией.

Докажем лемму о нелинейной функции.

Лемма 6. Пусть – нелинейная функция и . Подстановкой констант на места аргументов функции можно получить нелинейную функцию от двух аргументов.

Доказательство. Рассмотрим многочлен Жегалкина функции , который по условию содержит, по крайней мере, один член степени выше первой. Переименовывая переменные, будем считать , что в этот член входят переменные , и, возможно, какие-то другие переменные. Выполним следующую группировку членов полинома Жегалкина функции : соберем члены, в которые входят и и вынесем за скобки. Среди оставшихся соберем члены, содержащие , и вынесем за скобки. Точно так же соберем члены, содержащие , и вынесем за скобки. В результате получим

.

Здесь – некоторые функции от , причем функция тождественно не равна 0. Это следует из единственности полинома Жегалкина: если тождественно равно 0, то это означало бы, что функция имеет два полинома Жегалкина – с произведением и без него. Тогда для некоторого набора значений переменных имеем . Отсюда

,

где , , .

Лемма доказана.

В заключение заметим, что замкнутые классы попарно различны, что видно из следующей таблицы, в которой знак + означает, что функция содержится в классе, а знак – обозначает противоположную ситуацию.

Таблица 1

0	+	–	–	+	+
1	–	+	–	+	+
	–	–	+	–	+