Баранов Виктор Павлович. Дискретная математика.

Раздел 4. Функциональные системы с операциями. Алгебра логики.

Лекция 23. Важнейшие замкнутые классы. Теорема Поста о полноте.

Лекция 23. ВАЖНЕЙШИЕ ЗАМКНУТЫЕ КЛАССЫ.

Теорема поста о полноте

План лекции:

1. Важнейшие замкнутые классы булевых функций.

   1. Класс функций, сохраняющий константу 0.

   2. Класс функций, сохраняющий константу 1.

1.3. Класс самодвойственных функций.

1.4. Класс монотонных функций.

1.5. Класс линейных функций.

2. Теорема Поста о полноте.

Для формулировки критерия полноты необходимо предварительно рассмотреть пять замкнутых относительно операции суперпозиции классов булевых функций в . Каждый из них обладает тем свойством, что если производить операцию суперпозиции над функциями данного класса, то в результате будут получаться только функции из этого же класса.

1. Важнейшие замкнутые классы булевых функций

   1. Класс функций, сохраняющий константу 0

Обозначим через класс всех булевых функций из , сохраняющих константу 0, то есть функций, которые равны нулю на нулевом наборе переменных:

.

Заметим, что если , а , то и .

Легко убедиться, что функции 0, , , , принадлежат классу , а функции 1, , , не входят в .

Поскольку таблица для функции из класса в первой строке содержит значение 0, то в содержится ровно булевых функций от переменных.

Покажем, что – замкнутый класс. Для этого надо доказать следующее утверждение.

Лемма 1. Суперпозиция функций из класса является функцией класса .

Для доказательства необходимо убедиться, что применение операций и к функциям, сохраняющим 0, всякий раз дает функцию, сохраняющую 0.

В результате операции для функции имеем формулу , которая при нулевых значениях своих аргументов совпадает с .

Теперь покажем, что функция , полученная в результате применения операции , принадлежит , если принадлежат :

.

Лемма доказана.

Пример 1. Функции и входят в , поэтому суперпозиция этих функций будет сохранять 0. Следовательно, система неполная.

2. Класс функций, сохраняющий константу 1

Обозначим через класс всех булевых функций из , сохраняющих константу 1, то есть функций, которые равны 1 на единичном наборе переменных:

.

Например, функции 1, , , принадлежат классу , а функции 0, , не входят в .

В силу того, что класс двойствен классу , нетрудно перенести результаты о классе на класс . Так, если , а , то и . Класс содержит булевых функций от переменных и является замкнутым классом, то есть суперпозиция функций из класса является функцией класса .

3. Класс самодвойственных функций

Обозначим через класс всех самодвойственных функций из , то есть таких, что .

Как и выше, нетрудно проверить, что добавление равных функций не выводит за пределы класса :

.

Очевидно, что самодвойственными будут функции , . Менее тривиальным примером является функция :

Для самодвойственной функции имеет место тождество

.

Другими словами, на противоположных наборах и самодвойственная функция принимает противоположные значения. Отсюда следует, что самодвойственная функция определяется своими значениями на первой половине строк таблицы истинности. Поэтому число самодвойственных функций переменных равно .

Докажем, что класс замкнут, то есть, что суперпозиция самодвойственных функций является самодвойственной функцией. Для этого достаточно показать, что функция

является самодвойственной, если самодвойственны. Последнее устанавливается непосредственно:

.

Докажем теперь лемму о несамодвойственной функции.

Лемма 2. Если , то из нее путем подстановки функций и можно получить несамодвойственную функцию одного переменного, то есть константу.

Доказательство. Так как , то найдется набор такой, что

.

Рассмотрим функции () и положим

.

Тогда

Лемма доказана.

Например, функция несамодвойственна, так как . Аналогично для функции имеем: .