Лекция 16 Криволинейный интеграл 2-го рода. Его физический смысл. Формула Грина. Условия независимости интеграла от пути в r2

1. Криволинейный интеграл 2-го рода. Его физический смысл

Пусть - гладкая кривая,

.

Пусть - разбиение отрезка,

- мелкость разбиения,

-разметка разбиения.

Образуем следующую интегральную сумму:

Будем говорить, что для функций существует криволинейный интеграл второго рода по кривойв направлении возрастания параметра(от начальной точки кривой к конечной точке), если существует, не зависящий от, т.е.

Этой интеграл имеет следующее обозначение

.

Он зависит от ориентации кривой

.

В случае замкнутой кривой различают положительную и отрицательную ориентацию: против часовой стрелки и по часовой стрелке.

Этот случай подчеркивают следующим обозначением

.

Функции в записи интеграла можно считать координатами вектора. Его называют векторным полем, заданным на кривой.

Обозначим

Криволинейный интеграл определяет работу векторного (силового) полявдоль кривойв направление от точки А к точке В. Работу по замкнутой кривой часто называют циркуляцией.

2. Формула Грина

Теорема (Формула Грина). Пусть в односвязной области задано векторное полетаким, что функции- непрерывные в Е. Кривая, множество, ограниченное этой кривой, выпуклое . Тогда справедлива формула

.

Здесь кривая обходится в положительном направлении (против часовой стрелки).

Доказательство. Будем считать, что рассматриваемая область односвязная, т.е. в ней нет исключенных участков.

y

y = y₂(x)

D

A

C

B

y= y₁(x)

0 x₁ x₂ x

Если замкнутый контур имеет вид, показанный на рисунке, то криволинейный интеграл по контуру L можно записать в виде:

Рассуждая аналогично, для области правильной при проектировании на ось , получим

(2)

Складывая (1) и (2), получим формулу Грина.

3. Условия независимости интеграла от пути в r2

Лемма. Работа векторного поля не зависит от пути тогда и только тогда, когда любая циркуляция равна 0.

Доказательство. Пусть произвольный замкнутый контур, точки А и В – любые точки на. Тогда

.

Работа векторного поля не зависит от пути .

Лемма доказана.

Векторное поле называется потенциальным, если существует функция 2-х переменных- скалярное поле такое, что, т.е.

Замечание. В дифференциальных уравнениях уравнение первого порядка, записанное в дифференциалах , называется уравнением в полных дифференциалах, если существует скалярное поле:.

В этом случае общий интеграл уравнения имеет вид

Теорема. Если в односвязной области функциинепрерывны, то следующие условия эквивалентны:

1. поле - потенциальное в;

2. в ;

3. Работа поля вне зависит от пути.

Доказательство. Будем следовать схеме .

• 

Поле - потенциальное в, поэтому-скалярное поле:, т.е.

.

• 

Достаточно проверить, что любая циркуляция в равна 0.

Используем формулу Грина, получим

.

• 

Покажем, что следующее скалярное поле и есть искомый потенциал:

Итак,

. Аналогично доказывается другое равенство. Отсюда

- потенциальное поле в .

Лекция 17 Площадь поверхности в r3. Поверхностный интеграл 1-го рода. Его свойства, вычисление, приложения