2. Критерий Коши

Для того чтобы функция была интегрируема на прямоугольникенеобходимо и достаточно ,чтобы для любогосуществовалотакое, что для любых разбиенийи любых их разметоквыполняется

.

ЛЕКЦИЯ 2

Две леммы Дарбу. Эквивалентность двух определений интеграла Римана по прямоугольнику. Критерий Римана интегрируемости по прямоугольнику. Интегрируемость непрерывной функции

1. Две леммы Дарбу

Лемма 1. .

Лемма 2. .

2. Эквивалентность двух определений интеграла Римана по прямоугольнику

Теорема. Оба определения интеграла Римана является эквивалентными, т.е

Если в смысле первого определения, тов смысле определения второго и обратно.

Доказательство.

1. . Доказательство опирается на первую лемму Дарбу.

Если и не зависит от, то:. Отсюдабудет

. Поэтому . Переходя к пределу при, получим,.

2. . Доказательство опирается на вторую лемму Дарбу.

3. Критерий Римана интегрируемости по прямоугольнику

Теорема (критерий интегрируемости Римана).

, т.е интегрируема по Риману тогда и только тогда, когда.

Будем использовать запись .

Здесь - колебание функция на прямоугольнике.

Следствие. является линейным пространством и кольцом.

Доказательство. Доказательство сводится к проверке замкнутости относительно сложения и умножения.

Для доказательства оценим колебания на прямоугольнике суммы и произведение функций.

а..

Имеем

.

Далее .

б.

Имеем

Далее все очевидно.

4. Интегрируемость непрерывной функции

Теорема. , т.е. если функциянепрерывна, то она интегрируема.

Доказательство. Имеем .

Если , А- компактное, торавномерно непрерывна на А, поэтому

,такое, что,ибудет.

Итак, .

Отсюда, по критерию Римана .

ЛЕКЦИЯ 3

Множества меры и объема нуль. Их свойства. Колебание функции по прямоугольнику и в точке. Критерий непрерывности функции в точке. Замкнутость множества точек, в которых колебание функции не меньше заданного положительного числа. Описание множества точек разрыва

1. Множества меры и объема нуль. Их свойства

Определение 1. Множество имеет объем нульили меру Жордана нуль, если для любогосуществует конечный набор прямоугольников, для которого

1. ,

2. .

Определение 2. Множество имеет меру нульили меру Лебега нуль, если для любогосуществует прямоугольники, для которых

1. ,

2. .

Понятно, что множество объема нуль имеет и меру нуль. Обратное утверждение не верно.

Лемма 1. Счетное объединение множеств меры нуль есть множество меры нуль.

Доказательство. Пусть . Тогдасуществует набор:

1. ,

2. .

Тогда для прямоугольников :

1. ,

2. .

Т.е. .

Лемма 2. Компактное множество меры нуль имеет и объем нуль.

Доказательство. Пусть . Для любогосуществуют открытые прямоугольники:

1. ,

2. .

Так как Е компактное и - открытое покрытие Е, то по определению компактного множества существует конечный набор:

1. ,

2. .

Т.е. .

2. Колебание функции по прямоугольнику и в точке. Критерий непрерывности функции в точке

Определение 3. Колебанием функция в точке называется число.

Справедливы следующие утверждения.

Лемма 3. -точка непрерывности ограниченной функциитогда и только тогда, когда.

Доказательство.

Необходимость. Пусть функция непрерывна в точке. Предположим, что. Рассмотрим. Из определенияполучим, что существуют точкитакие, что.

Кроме того, имеем . Это противоречит непрерывности функциив точке. Следовательно.

Достаточность. Поскольку , то для любогосуществуеттакое, что для любыхимеем. Полагая, получаем непрерывность в точке. Лемма доказана.