4. Сходимость кратных интегралов

Все аналогично случаю внешности шара:

,

В сферической системе координат

Интегралы ограничены по интегралысходятся.

ЛЕКЦИЯ 14

Геометрические и механические приложения кратных интегралов

1. Геометрические приложения кратных интегралов

Кратный интеграл позволяет вычислить объем измеримого по Жордану тела

2. Механические приложения двойного интеграла

Двойной интеграл позволяет вычислить массу, координаты центра тяжести, статичные моменты первого и второго порядка плоской пластинки, начиненной веществом.

Пусть на плоскости задана плоская фигураи пусть непрерывная функция- плотность распределения ее массы. Разобьем фигуру на частисетью гладких кривых и, предполагая, что в пределах одной части плотность распределения масс постоянна, получаем приближенное выражение для массы:

.

В пределе имеем

.

Аналогично выводятся формулы для статических моментов первого порядка иотносительно осейи:

и ,

Координаты центра тяжести пластинки вычисляются по формулам:

.

Вторые статические моменты (моменты инерции относительно осей и) вычисляются по формулам:

и .

Наконец, момент инерции относительно начало координат имеет вид

.

3. Механические приложения тройного интеграла

Аналогично двумерному случаю можно выписать следующие формулы.

Масса тела:

.

Первые статические моменты относительно координатных плоскостей:

Координаты центра тяжести

.

Вторые статические моменты:

.

ЛЕКЦИЯ 15

Криволинейный интеграл 1-го рода. Его свойства, вычисление, приложения

1. Криволинейный интеграл 1-го рода. Его свойства, вычисление

Пусть в параметрически задана кривая

Будем предполагать, что кривая является гладкой( кусочно-гладкой), т.е функции непрерывно дифференцируемые:(кусочно непрерывно дифференцируемые). Такая кривая является спрямляемой. В этом случае длину дуги части кривой, отвечающей отрезкуможно вычислять при помощи формулы

.

Если - длина части кривой, отвечающей отрезку.

Пусть - разбиение отрезка,-разметка разбиения,

.

Образуем интегральную сумму

.

Будем говорить, что для функции существует криволинейный интеграл первого рода по кривой, если существует, не зависящий от. Т.е

Значение интеграла полагают равным числу А:

.

Свойства криволинейного интеграла 1-го рода:

1. .

2. Если .

3.Если на, то.

4.,

где-длина

Вычисление криволинейного интеграла 1-го рода.

По определению интеграла сумма является интегральной суммой для интеграла Римана-Стилтьеса, поэтому

.

Если ,- гладкая кривая, то

Если кривая задана в трехмерном пространстве

, то аналогично

2. Приложения криволинейного интеграла 1-го рода

Геометрическое приложение: Вычисление длины кривой.

Длина кривой

Механические приложения: Вычисление массы, статических моментов, координат центра тяжести.

Пусть сначала - плоская кривая- плотность на кривой. Имеют место следующие формулы:

Масса

.

Первые статические моменты относительно осей и

Координаты центра тяжести

.

Вторые статические моменты (моменты инерции) относительно осей и

Момент инерции относительно начала координат

.

Пусть теперь - пространственная кривая ,-плотность на кривой. Имеют место следующие формулы :

Масса

.

Первые статические моменты относительно координатных плоскостей

Координаты центра тяжести

.

Вторые статические моменты (моменты инерции) относительно координатных плоскостей:

Момент инерции относительно начала координат