2. Сферические координаты в Rn. Их ортогональность

Сферические координаты в задаются отображением

,

.

Найдем касательные векторы и коэффициенты Ламе

………….

Убеждаемся в ортогональности сферических координат и вычисляем Якобиан:

,

.

3. Вычисление объема n-мерного шара

Имеем

- объем шара радиуса . Переход к повторному интегралу дает

.

Пусть . Получим рекуррентную формулу для:

Разбирая различные случаи, получим

если

Имеем

,

ЛЕКЦИЯ 12

Оператор Лапласа в ортогональных координатах. Оператор Лапласа в полярных координатах в R², цилиндрических и сферических

координатах в R³

1. Оператор Лапласа в ортогональных координатах

Дифференциальный оператор Лапласа второго порядка задается равенством

Тогда

- уравнение Лапласа.

Если - ортогональные координаты, то оператор Лапласа в новых координат примет следующий вид :

2. Оператор Лапласа в полярных координатах в R², цилиндрических и сферических координатах в R³

Оператор Лапласа в полярных координатах в :

.

Оператор Лапласа в цилиндрических координатах:

Оператор Лапласа в сферических координатах:

ЛЕКЦИЯ 13

Кратные несобственные интегралы 1-го и 2-го рода. Абсолютная сходимость. Признак сравнения. Сходимость кратных интегралов

1. Кратные несобственные интегралы 1-го. Абсолютная сходимость.

Признак сравнения

Пусть - неограниченная область,

, ,для любого.

Последовательность множеств изназывается-допустимой, если

1. ограничены, измеримы по Жордану,

2. ,,

3..

Пример : ,-допустимой последовательностью будет, например, последовательность шаров.

Число называется несобственным интегралом первого рода от функциипо неограниченной области, если для любой последовательности,-допустимых множеств, существует.

В случае сходимости значение несобственного интеграла полагается равным

Если сходится интеграл ,то говорят, что интеграл сходится абсолютно.

Теорема. Несобственный интеграл сходится- сходится.

Интеграл сходится последовательностьограниченная хотя бы для одной последовательности-допустимых множеств.

Эта теорема указывает на большую разницу между одномерным и многомерным случаями.

Признак сравнения можно записать в следующей форме.

Теорема. Пусть функции интегрируемы на любом измеримом по Жордану компакте, содержащемся в множестве и. Тогда

1. если несобственный интеграл сходится, то несобственный интеграл тожесходится;

2. если несобственный интеграл расходится, то несобственный интегралтоже расходится.

2. Сходимость кратных интегралов

Рассмотрим несобственный интеграл

.

При - сходится прии расходится при.

При ,

.

В полярной системе координат ,

.

При каких интеграл ограничен посходится.

Для исследования сходимости интеграла будем использовать сферическую систему координат

,

В ней

,

- ограничен сходится.

Здесь есть площадь поверхности сферы единичного радиуса.

При ,- объем шара радиуса,

Имеем .

3. Кратные несобственные интегралы 2-го рода. Абсолютная сходимость.

Признак сравнения

Пусть - измеримая по Жордану область,

, ,.

Последовательность множеств изназывается-допустимой , если

1. ограничены, измеримы по Жордану,

2. ,,

3..

Пример : ,-допустимой последовательностью будет , например, последовательность множеств.

Число называется несобственным интегралом второго рода от функциипо ограниченной области, если для любой последовательности,-допустимых множеств существует.

Если сходится интеграл ,то говорят, что интеграл сходится абсолютно.

Теорема. Несобственный интеграл сходится- сходится. Интеграл сходится последовательностьограниченная хотя бы для одной последовательности-допустимых множеств.

Признак сравнения можно записать в следующей форме.

Теорема. Пусть функции интегрируемы на любом измеримом по Жордану компакте, содержащемся в множестве и. Тогда имеем

1. если несобственный интеграл сходится, то несобственный интегралтоже сходится;

2. если несобственный интеграл расходится, то несобственный интегралтоже расходится.