Лекция 8

Формула Дирихле-Лиувилля. Вычисление объема n-мерного

симплекса и шара

1. Формула Дирихле-Лиувилля

Пусть -n-мерный симплекс,

, - интегрируема по Риману (несобственном смысле),

.

Рассмотрим кратный интеграл

.

Справедлива следующая формула Дирихле-Лиувилля:

Здесь - гамма-функция,.

Эта формула позволяет вычислить объемы некоторых тел.

2. Вычисление объема n-мерного симплекса и шара

1. Объем симплекса . Имеем

2. Объем октаэдра :

3. Объем шара :

Объем шара произвольного радиуса

.

ЛЕКЦИЯ 9

Криволинейные координаты в Rⁿ. Координатные линии и поверхности. Коэффициенты Ламе. Ортогональные криволинейные координаты. Якобиан в случае ортогональных координат. Формула замены переменных в кратном интеграле

1. Криволинейные координаты в Rⁿ. Координатные линии и поверхности. Коэффициенты Ламе

Будем говорить, что отображение определяет криволинейные координатыв области, если:

• -биекция между

• -гладкое отображение, т.е или

• Якобиан отображения отличен от 0.

Здесь

, .

Если в отображении зафиксируем все переменныекроме одной, то получим параметрическое уравнение кривой, называемое координатной линией. Если фиксируем все переменныекроме двух, то получим координатную поверхность размерности 2 и т.д.

Касательные векторы к координатным линиям имеют вид:

Модули этих векторов называются коэффициентами Ламе

.

В якобиане касательные векторы стоят по столбцам, поэтому геометрический смысл модуля Якобиана - объем параллелепипеда, натянутого на касательные векторы.

2. Ортогональные криволинейные координаты. Якобиан в случае ортогональных координат

Криволинейная система координаты называется ортогональной, если для:.

В случае ортогональных координат модуль Якобиана .

3. Формула замены переменных в кратном интеграле

Теорема (о замене переменных в кратном интеграле) Если -компактные, измеримые по Жордану множества в,- криволинейная система координат, функция, тои

.

ЛЕКЦИЯ 10

Полярная система координат в R². Двойной интеграл в полярных координатах. Цилиндрическая система координат в R³. Тройной интеграл в цилиндрических координатах

1. Полярная система координат в R². Двойной интеграл в полярных координатах

Связь полярных координат с декартовыми имеет вид:

.

Найдем касательные векторы и коэффициенты Ламе:

Полярные координаты – ортогональные:

.

Область называется правильной областью в полярной системе координат, если ее можно записать системой неравенств

.

В этом случае формула замены переменных выглядит следующий образом:

.

2. Цилиндрическая система координат в R³. Тройной интеграл в цилиндрических координатах

Цилиндрические координаты являются обобщением полярных координат. Точка задается полярными координатами проекции на плоскость и координатой по оси .

Название координат связано с тем, что уравнение прямого кругового цилиндра в них имеет наиболее простое уравнение .

Соответствующее отображение имеет вид:

Якобиан для них такой же, как и для полярных координат:

.

В этом случае формула замены переменных выглядит следующим образом:

.

ЛЕКЦИЯ 11

Сферическая система координат в R³. Тройной интеграл в сферических координатах. Сферические координаты в Rⁿ. Их ортогональность. Вычисление объема n-мерного шара

1. Сферическая система координат в R³. Тройной интеграл

в сферических координатах

В сферической системе координат точка задается тройкой , где - расстояние от точки до начала координат, - полярный угол проекции точки на плоскость (иначе говоря, угол , где - проекция точки ), - угол между и .

Название связано с тем, что у точек на сфере с центром в начале координат .

Формулы перехода имеют вид:

_{Найдем касательныу векторы, коэффициенты Ламе и убедимся в ортогональности сферических координат:}

Сферические координаты обычно используют только в случае, когда тело в сферических координат имеет следующее описание:

В этом случае формула замены переменных выглядит следующим образом: