Лекция 25 Ориентация на поверхности и ее границе. Интегрирование дифференциальной формы по ориентированной поверхности

1. Ориентация на поверхности и ее границе

Вначале рассмотрим ориентацию пространства . Вимеется стандартный ортогональный базис

Под ориентацией пространства понимают определенный порядок этих базисных векторов.

Всего существует ориентаций. Все эти ориентации можно разбить на 2 класса. 2 ориентации попадут в один класс, если от одной ориентации к другой можно перейти за четное число транспозиций. Понятно, что ориентацию пространства можно осуществлять и на языке координат вектора.

-мерная поверхностьопределяется при помощи отображения,Ориентация поверхности – это определенный порядок параметров

Граница поверхности . Так как граница--мерная поверхность в, то ее ориентацию можно задать при помощи нормали, определяемой заданным порядком параметров. Тогда ориентация набудет определять ориентацию на, согласованную с ориентацией на.

2. Интегрирование дифференциальной формы по ориентированной поверхности

Пусть -дифференциальная форма порядкав пространстве

, - -мерная поверхность в, ориентированная порядком

,

- сужение формы на поверхностьс учетом её ориентации.

Определение. Интегралом от дифференциальной формы порядкапо поверхности, ориентированной, называется число

,

равное -кратному интегралу от функциипо области.

ЛЕКЦИЯ 26

Общая формула Стокса. Частные случаи общей формулы Стокса

1. Общая формула Стокса

Пусть ,,--мерная ориентированная поверхность,

- дифференциальная форма порядка ,

- граница области ,- граница или край поверхности

. Ориентация на границе согласована с ориентацией на.

Теорема (Общая формула Стокса). При указанных предположениях справедливо равенство

.

2. Частные случаи общей формулы Стокса

Рассмотрим несколько частных случаев.

1) ,

- формула Ньютона — Лейбница.

2) ,

,

-кривая,,

- работа потенциального векторного поля.

3) ,

,

- формула Грина.

4) ,

-Формула Стокса.

5) ,

,

-формула Гаусса -Остроградского.