3. Векторные линии и векторные трубки

Пусть в области задано векторное поле. Кривая L, лежащая в, называетсявекторной линией, если в каждой точке этой кривой направление касательной к ней совпадает с направлением вектора в этой же точке.

В вопросах, связанных с изучением полей, важную роль играет задача о нахождении векторной линии поля , проходящей через данную точку.

Аналитически эта задача формулируется так: требуется найти вектор-функцию r(t), удовлетворяющую условиям:

где — радиус-вектор начальной точки,— начальный момент времени, а— произвольная числовая величина. Можно показать, что если компоненты Р, Q, R вектора— непрерывно-дифферен­цируемые функции координат, ни в одной точке не обращающиеся в нуль одновременно, то эти условия действительно определяют в области, в которой задано поле, одну и только одну век­торную линию.

Если в рассматриваемой области взять какую-нибудь кривую, отличную от векторных линий, и через каждую ее точку провести векторную линию, то геометрическое место этих линий даст нам векторную поверхность. В случае, если упомянутая направляющая кривая является замкнутой, получается трубкообразная векторная поверхность, называемая векторной трубкой.

Лекция 21

Потенциальные и соленоидальные векторные поля. Векторная интерпретация формул Стокса и Гаусса-Остроградского

1. Соленоидальные векторные поля. Векторная интерпретация

формулы Гаусса-Остроградского

Векторное поле в областиназывается соленоидальным, если для любой замкнутой поверхностипоток через нее равен нулю. Из теоремы Гаусса – Остроградского вытекает следующее утверждение.

Теорема. Следующие условия эквивалентны:

1. Поле - соленоидальное вE;

2. в области E;

3. существует векторное поле .

2. Потенциальные векторные поля. Векторная интерпретация

формулы Стокса

Потенциальные векторные поля и приложения формулы Стокса приведены в лекции 19.

ЛЕКЦИЯ 22

Дифференциальные векторные операции 2-го порядка. Гармоническое поле и уравнение Лапласа. Гармонические функции. Разложение векторного поля на сумму потенциального и соленоидального полей и уравнение Пуассона. Вторая формула Грина

1. Дифференциальные векторные операции 2-го порядка

Рассмотрим скалярное поле и векторное поле.

Дифференциальными операциями первого порядка называются операции

где -оператор набла.

Дифференциальными операциями второго порядка называются попарные комбинации операций первого порядка. Рассмотрим эти операции

• . Имеем

Выражение называется оператором Лапласа.

• . Имеем

• . Имеем

• . Имеем

.

2. Гармоническое поле и уравнение Лапласа. Гармонические функции

Векторное поле, которое одновременно является и соленоидальным и потенциальным, называется гармоническим.

Пусть поле гармоническое

Итак, потенциал гармонического поля удовлетворяет уравнению - уравнению Лапласа

.

Решения уравнения Лапласа называются гармоническими функциями.

3. Разложение векторного поля на сумму потенциального и соленоидального полей и уравнение Пуассона

Теорема. Для любого векторного поля справедливо разложение:, где- потенциальное поле,- соленоидальное поле.

Действительно, по определению потенциального поля есть градиент некоторого скалярного поляu: . Поэтому для вектора имеем

Чтобы векторное поле было соленоидальным, оно должно удовлетворять условию, откуда.Таким образом, для скалярного потенциала поля получаем уравнение

,

называемое уравнением Пуассона: .

4. Вторая формула Грина

Пусть - пространственное тело, ограниченное кусочно-гладкой поверхностью. На поверхностивыбрана внешняя сторона с помощью внешней нормали. В телезаданы два гладких скалярных поляи. В этих предположениях выполняется утверждение.

Теорема (вторая формула Грина) Справедливо следующее равенство

,

где - производнаяпо направлению внешней единичной нормали.

Доказательство. Имеем

.

Согласно теореме Гаусса - Остроградского

где поверхностные интегралы второго рода взяты по внешней стороне поверхности , ограничивающей область. ПустьТогда поверхностные интегралы второго рода в правых частях могут быть записаны как поверхностные интегралы первого рода:

Окончательно получим