KT Богомолов / МУ / ЗАДАНИЕ_4_ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ / ЗАДАНИЕ №4 ЗЛП

1

ЗАДАНИЕ №4 ЗЛП

Тема работы

Методика построения экономико-математической модели задачи линейного программирования (ЗЛП). Решение ЗЛП в Microsoft Excel.

Цель работы

Приобретение навыков решения ЗЛП в Microsoft Excel.

Методика построения математической модели ЗЛП

Линейное программирование – это метод, заключающийся в нахождении экстремальных (максимальных или минимальных) значений линейной функции многих переменных при наличии линейных ограничений. Он позволяет выбрать из множества вариантов

наиболее оптимальный (лучший) путем решения системы линейных уравнений.

Типичными примерами задач, решаемых методом линейного программирования, являются задачи рационального использования сырья и оборудования, составления оптимального плана перевозок, и ряд других из области оптимального планирования

Условие общей задачи.

Предприятие (участку, цеху, отрасли) планирует выпуск n видов продукции (товаров, изделий) T1,...,Tj,...,Tn.

Для выпуска этой продукции необходимо m видов ресурсов (сырья, оборудования и др.). Ресурсы выделены предприятию в количествах

b1,...,bi,...,bm.

На производство одного изделия Tj j-го вида расходуется аij ресурсов i-го вида.

От реализации одного изделия Тj j-го вида ожидается прибыль

Pj = Cj - Sj,

где Сj - отпускная цена изделия Tj,а Sj - себестоимость.

Найти такой план выпуска продукции, чтобы суммарная прибыль от реализации продукции была наибольшей.

Если неизвестные количества изделий каждого j-го вида обозначить через xj, j = 1,2,...,n, то цель задачи можно записать следующим образом:

Величину L(x) называют целевой функцией задачи.

2

Анализ (1.1) показывает, что увеличение L(x) возможно при увеличении любого из xj. Однако такое увеличение ограничено

пределами выделенных на производство ресурсов аij, а суммарное количество каждого i-го ресурса, затраченное на производство всех n

видов продукции, не может превышать имеющегося количества bi

этого ресурса.

Эти ограничения составляют следующую систему неравенств:

(1.2)

Наконец, искомый объем производства не может быть отрицательным (продукция или производится, тогда xj > 0, или не производится, тогда xj= 0).

Поэтому систему неравенств (1.2), носящую название системы ограничений, следует дополнить следующими ограничениями:

(1.3)

Соотношения (1.1), (1.2), и (1.3) представляют математическую модель задачи поиска

оптимального по прибыли плана выпуска продукции из имеющихся ресурсов, или задачи оптимального использования ресурсов.

Неравенства (1.2) и (1.3) составляют систему ограничений, а выражение (1.1) - целевая функция, служащая для оценки качества

решения, как критерий эффективности.

Задача поиска оптимального по прибыли плана использования ресурсов формулируется так:

«Найти набор неотрицательных значений xj (1.3), удовлетворяющий системе ограничений (1.2) и обеспечивающий максимальное значение целевой функции L(x) (1.1).»

3

Пример построения экономико-математической модели ЗЛП

Растворный узел может выпускать строительные растворы трех марок. Содержание (в долях единицы) компонентов в 1 м3 раствора приведено в

таблице.

Отпускная цена 1 м3 раствора:

I марки C1 = 1200 pyб/м3,

II марки C2 = 1000 руб/м3,

III марки C3 = 800 руб/м3.

Ежемесячно растворному цеху поставляется:

400 м3 песка,

80 м3 извести и

90 м3 цемента.

Минимальная потребность в растворе каждой марки - 100 м3.

Определить месячный план выпуска раствора по маркам (в м3), обеспечивающий максимальную суммарную стоимость продукции.

РЕШЕНИЕ.

Определить х1, х2, xn, обращающие в максимум функцию:

L(x) = 1200x1 + 1000x2 + 800x3

при условиях (ограничениях):

При оптимальном плане суммарная стоимость продукции растворного узла

316000 руб. и будет израсходовано:

песка - 190 м3,

извести - 40 м3,

цемента - 90 м3.

4

Решение в Excel с использованием инструмента Поиск решения выглядит следующим образом: