Непрерывные случайные величины: законы распределения, числовые характеристики
Лекция 15
Непрерывные случайные величины. Функция
распределения (интегральная).
Непрерывные• случайные величины могут принимать любые значения из некоторого множества ( время наработки до отказа, погрешности измерений …)
Наиболее общей формой закона распределения является функция распределения - вероятность того, что случайная величина принимает значение меньшее, чем заданное
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Свойства следуют из свойств вероятности: |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1. |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
2. |
– неубывающая функция для всех |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3. |
непрерывна слева в точках разрыва |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Вероятность попадания случайной величины на интервал
Функция распределения для дискретных случайных величин
представляет• собой функцию накопленных вероятностей и является разрывной ступенчатой функцией
Пример. В урне 2 белых и 3 черных шара. Наугад с возвращением достаем 3 шара. Случайная величина = 0, 1, 2, 3 –число белых шаров в выборке:
; . Вероятности находим по формуле Бернулли
0 |
1 |
2 |
3 |
сумм |
27/12 |
54/12 |
36/125 |
8/125 |
|
55
1
2 |
3 |
Функция плотности вероятности |
• |
Для непрерывной случайной величины производная функции |
распределения называется функцией плотности вероятности или |
дифференциальной функцией распределения. |
x |
(как производная неубывающей функции) |
(условие нормировки) - площадь под графиком плотности вероятности |
равна 1. |
Числовые характеристики непрерывной случайной |
величины: математическое ожидание |
= |
|
Равномерное распределение |
• |
f(x) |
|
|
|
Показательное распределение |
λ |
= |
Коэффициент вариации (характерный признак)
Нормальное распределение
•
Функция распределения
1
; 
Правило 3:
Моменты случайных величин (обобщение понятия числовые характеристики)
Начальный• момент порядка – число: для дискретных случайных величин для непрерывных случайных величин
Центральный момент порядка – число: При этом (условие нормировки)
,
Третий центральный момент служит характеристикой асимметрии: для симметричных распределений все нечетные моменты равны нулю - ; коэффициент асимметрии (для нормального закона )
Четвертый центральный момент характеризует островершинность через
эксцесс (для нормального закона
Характеристические функции
•
ля дискретных случайных величин ля непрерывных случайных величин
По характеристической функции однозначно восстанавливается функция плотности вероятности через преобразования Фурье: . Примеры.docx
характеристических функций в приложении.
Свойства характеристической функции:
1. Функция определена для ; 2.
3.
4.Характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению характеристических функций :
…+
=
=
Характеристические функции
Свойства• (продолжение)
5. Если существуют моменты распределения то справедливо : 
Эти соотношения получаются путем сопоставления разложения в ряд характеристической функции с общей формулой разложения в степенной ряд.
=
=… =
Пример. Нормальное распределение. Для нормированной переменной
имеем и =
==
==