Предельные теоремы теории вероятностей. Основные понятия математической статистики.

Лекция 16

Числовые характеристики суммы независимых случайных величин

Пусть• взаимно независимые, одинаково распределенные случайные величины с параметрами:

Случайная величина , которую называют средним арифметическим, имеет характеристики:

;

Каждое слагаемое нормированной и центрированой случайной величины

имеет характеристики:

Поскольку

Характеристическая функция суммы независимых случайных величин

Характеристическая• функция каждого слагаемого:

Характеристическая функция суммы :

При получаем неопределенность , которую раскрываем, используя основное логарифмическое тождество и разложение в ряд логарифмической функции :

.

В результате сформулируем центральную предельную теорему.

Центральная предельная теорема

Если• случайные величины независимы и одинаково распределены, а также имеют конечные математическое ожидание и дисперсию: =; ,

то для любого действительного закон распределения нормированного и центрированного среднего арифметического случайных величин при стремится к нормальному закону распределения с параметрами и :

Таким образом, нормальное распределение является предельной формой распределения суммы большого числа случайных величин, из которых ни одна не доминирует над другой.

Теоремы Муавра - Лапласа

•Рассматриваем биномиальное распределение (схема Бернулли): вероятность того, что при испытаниях событие появится раз:

;

При достаточно больших значениях биномиальное распределение приближенно заменяют нормальным распределением :

Вероятность того, что при испытаниях событие появится раз:

;(Локальная теорема Муавра –Лапласа)

Вероятность того, что при истытаниях число событий условию

(Интегральная теорема Муавра-Лапласа)

Закон больших чисел в форме Бернулли

Найдем• вероятность того, что относительная частота события отличается от его вероятности не более, чем на

С учётом того, что используем интегральную теорему Муавра-Лапласа получаем:

Относительная частота события в независимых испытаниях при стремится к вероятности одного испытания

Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева.

Дисперсия совпадает со вторым начальным моментом:

: площадь под графиком равна 1 и она больше, чем площадь под “ хвостами ” распределений.

Для случайной величины отклонение среднего от неравенство Чебышева:

Математическая статистика

позволяет• получать обоснованные выводы о видах распределения, параметрах и других свойствах случайных величин по совокупности наблюдений над ними – выборке.

Пусть случайная величина распределена по закону и наблюдается в эксперименте а опыт повторяется раз в одних и тех же условиях. В результате получаем последовательность наблюдений значений случайной величины или случайно отобранных объектов ,

которую называют выборкой из генеральной совокупности с законом распределения