Математика 2 семестр / Лек бак 2 семестр / Задачиа

9

Задачи на составление дифференциальных уравнений

Задача 1. Поглощение света при прохождении через воду

Поглощение светового потока тонким слоем воды пропорционально толщине слоя и потоку, падающему на его поверхность. Зная, что при прохождении через слой толщиной 2м поглощается первоначального светового потока, определить, какой процент его дойдет до глубины 12м ?

Решение:

Составим дифференциальное уравнение. Обозначим через световой поток, падающий на поверхность на глубине . При прохождении через слой воды толщиной поглощенный световой поток равен дифференциалу , где – коэффициент пропорциональности ().

Общее решение дифференциального уравнения получаем путем разделения переменных . В результате общее решение имеет вид:

.

По условию задачи при имеем поэтому

откуда и ,

До глубины м дойдет световой поток что составляет 8,78 первоначального светового потока.

Задача 2.

Найти кривую, проходящую через точку, зная, что угловой коэффициент касательной в любой точке кривой в три раза больше углового коэффициента прямой, соединяющей эту же точку с началом координат.

Решение:

Пусть - искомое уравнение кривой. Проведем касательную в произвольной точке . Её угловой коэффициент . Согласно условию он в три раза больше углового коэффициента прямой уравнение которой Таким образом . Получили уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя переменные и интегрируя, получим общее решение . Так как искомая кривая проходит через точку , найдем

тогда искомое уравнение примет вид .

Задача 3.

Подкасательной кривой в точке называется проекция на ось отрезка касательной к этой кривой, где точка пересечения касательной с осью (рис. 1) Найти семейство кривых, у которых подкасательная имеет длину, равную 2.

Решение:

Пусть - искомое уравнение кривой. Проведем касательную в произвольной точке кривой . Рассмотрим прямоугольный треугольник . Согласно условию задачи . Учитывая, что а получим дифференциальное уравнение общее решение которого имеет вид

Задача 4.

Найти кривую, у которой сумма длин касательной (точнее длины её отрезка от точки касания до точки пересечения с осью абсцисс) и подкасательной в любой её точке равна произведению координат точки касания.

Решение:

Пусть - искомая функция. Проведем касательную в произвольной точке кривой Согласно условию задачи .

Из прямоугольного треугольника

Тогда дифференциальное уравнение примет вид ,

Умножая обе части полученного уравнения на дробь получим

.

Преобразуем его.

Возводим обе части в квадрат.

Разделим обе части на (при условим, что ).

откуда

Разделяя переменные и интегрируя, получим общее решение

Задача 5.

Найти уравнение кривой, проходящей через точку у которой подкасательная равна сумме координат точки касания.

Решение:

Пусть - искомое уравнение кривой. Проведем касательную в произвольной точке По условию задачи длина подкасательной

.

Из прямоугольного треугольника находим т.е.

Решаем полученное однородное уравнение с помощью подстановки откуда

Имеем т.е.

Откуда , или

Интегрируя полученное уравнение, имеем

или

Так как искомая кривая проходит через точку имеем или

Таким образом, искомой кривой является линия, определяемая уравнением

Задача 5.

Сила тока в электрической цепи с сопротивлением коэффициентом индуктивности и электродвижущей силой удовлетворяет дифференциальному уравнению

Найти зависимость силы тока от времени, если изменяется по закону и (),

Решение:

Уравнение является линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Решим его методом Бернулли, представляя искомую функцию как . Тогда производная равна а уравнение преобразуется к виду

или (1)

Подберем так, чтобы выражение в скобках было равно нулю, т.е. решаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными . После интегрирования получаем .

Подставляя найденное функции в уравнение (1), получим второе дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, из которого найдем функцию

=>

Следовательно, К последнему интегралу применяем метод интегрирования по частям и находим .

Окончательно получаем общее решение: .

Принимая во внимание, что находим значение произвольной постоянной и частное решение .

Задача 6. Вентиляция цеха.

В помещении цеха вместимости 10800 воздух содержит 0,12% углекислого газа. Вентиляторы доставляют свежий воздух, содержащий 0,04% углекислоты, в количестве мин. Предполагая, что концентрация углекислоты во всех частях помещения в каждый момент времени одна и тоже, рассчитать какова должна быть мощность вентиляторов, чтобы по истечении 10мин содержание углекислоты не превышало 0,06%.

Решение:

Обозначим содержание углекислоты в воздухе в момент времени через (%). Составим за промежуток времени мин, протекший от момента , баланс углекислоты, находящейся в помещении. За это время вентиляторы доставили 0,0004 углекислоты, а ушло из помещения 0,01 Значит всего за мин, количество углекислоты в воздухе уменьшилось на

Обозначив через процентное уменьшение содержания углекислоты в воздухе, можно подсчитать это же количество углекислоты другим путем, по формуле (знак минус берется потому, что ).

Приравнивая друг другу оба выражения для , составим дифференциальное уравнение (

Разделяя переменные, найдем . Общий интеграл имеет вид

или . Поскольку.

при то и частное решение имеет вид

Для определения мощности вентиляторов положим и получаем откуда и