Дифференциальные уравнения высших порядков
Лекция 5
Теорема существования и единственности для уравнений первого порядка.
Если• для уравнения первого порядка выполняются условия:
•функция определена и непрерывна в области
•определена и непрерывна в области
то решение уравнения в области существует и единственно. Через каждую точку области проходит одна единственная интегральная кривая.
При нарушении условий теоремы в каких –либо точках, решение либо отсутствует, либо не является единственным.
Пример 1.
- решение является семейством гипербол кроме точки , где нарушается непрерывность правой части уравнения
Теорема существования и единственности для уравнений первого порядка
• Пример 2.
Правая часть уравнения непрерывная функция, но частная производная имеет линию разрыва Прямая
подстановка в уравнение показывает, что линия является решением уравнения. Такое решение называют особым. Особое
решение нельзя получить из общего решения ни при каких значениях произвольной постоянной.
Общее решение: |
= |
- кубические параболы
На линии нарушена единственность решения – через каждую
точку проходят две кривые
Дифференциальные уравнения высших порядков . Основные понятия
•
=
Общее решение содержит произвольных постоянных
,
Пример. Найдем частное решение уравнения при условии
=
РЕШЕНИЕ + 1
Дифференциальные уравнения второго порядка, попускающие понижение порядка: в уравнении явно нет
•
В результате подстановки уравнение преобразуется в какое – либо уравнение первого порядка.
Пример. |
линейное уравнение |
=
=
Дифференциальные уравнения второго порядка, попускающие понижение порядка: в уравнении явно нет
•
В результате подстановки уравнение преобразуется в какое – либо уравнение первого порядка.
Пример. Найдем общее решение уравнения .
+ - произвольная постоянная и второе интегрирование зависит от знака этой постоянной:
;
;Особое решение
(проверяем подстановкой)
Дифференциальные уравнения высших порядков, попускающие понижение порядка: левая и правая части
уравнения являются полными производными
Пример• 1.
=
Пример 2. Найдем частное решение при
условии
Делим уравнение на =
Подставляем начальные условия: из начальных условий
решение
Определите тип дифференциального уравнения и решите его
•
Ответы: 1) 2) 3) 4) 5)
Пример задачи на составление дифференциального
уравнения
• |
Найти уравнение кривой, проходящей через точку , если для любого |
|
|
отрезка площадь криволинейной трапеции, |
ограниченной |
|
соответствующей дугой этой кривой, равна |
отношению абсциссы |
|
концевой точки к ординате . |
|
• |
Согласно условию |
|
• |
|
|
• |
|
|
• |
; |
|
• |
из начальных условий определяем |
|
•Ответ: