Аналитическая геометрия на плоскости:
прямая линия, кривые второго порядка
Лекция 14
Уравнение прямой с направляющим вектором
любой вектор параллельный прямой
• |
Условие параллельности вектора и вектора, |
|
принадлежащего прямой : |
=(каноническое уравнение)
;+ 
(параметрическое уравнение прямой)
= - ура-ие прямой через Пример: пусть .
; параметрическое уравнение
Условие параллельности: ; перпендикулярности: =0
Уравнение прямой с нормальным вектором любой вектор, перпендикулярный прямой
• |
Условие перпендикулярности вектора |
|
нормали и вектора |
|
+ = 0 или |
|
- общее уравнение прямой |
Пример:
Нормальное уравнение прямой :
– расстояние от начала координат до прямой
;
Расстояние от точки
M
d
0
|
Уравнение прямой с угловым коэффициентом |
• |
|
y |
Угловой коэффициент |
b |
; |
|
Условие параллельности : |
|
Условие перпендикулярности: = |
Угол между прямыми . |
|
Уравнение «в отрезках на осях: |
|
+ |
Пример: |
|
-3 |
|
-2 |
Кривые второго порядка задаются уравнением второго
порядка
при• условии
Поворот и параллельный перенос системы координат приведет уравнение к простейшему (каноническому) виду:
1. Окружность – множество точек плоскости, одинаково удаленных от некоторой точки (центра) :
Пример:
2. Эллипс – множество точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек, называемых фокусами , , есть величина постоянная , большая чем расстояние между фокусами :
|
полуоси эллипса |
b |
|
2c |
=1 |
Кривые второго порядка
•3. Гипербола - множество точек плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух фиксированных точек, называемых фокусами , , есть величина постоянная , меньшая чем расстояние между фокусами : : +
Уравнения асимптот:
b
Сопряженная
Основная
4. Парабола – множество точек плоскости, одинаково удаленных от некоторой прямой (директрисы) и некоторой точки - фокуса ( F). - расстояние между фокусом и директрисой :
F
|
Полярная система координат |
|
||
• |
полюс |
|
+ |
|
|
– полярная ось |
y |
r |
|
|
(совмещена с 0x) |
|
φ = |
, если |
|
полярный радиус |
0 |
x |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Примеры: 1) |
|
|
R |
|
2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
|
|
2 |
|
|
Функция периодическая с периодом |
|
|
|
|
. |
|
|
|
Векторная функция скалярного аргумента (ВФСА) |
||||
• y |
Если каждому действительному , |
, то на |
||
• |
|
V |
поставлен в соответствие вектор |
|
• |
|
|
то на множестве задана векторная функция |
|
• |
|
|
действительной переменной: |
|
• |
|
|
|
|
Вектор скорости |
= |
|
|
|
Величина скорости |
|
|
||
Годограф – кривая, которую описывает конец вектора |
|
|||
Примеры: 1) |
|
|
|
|
2) |
|
|
|
|
3) |
|
|
|
|
4) |
|
|
|
|
Векторная функция скалярного аргумента (ВФСА)
Вторая• производная – вектор ускорения:
•=
τ= - единичный касательный вектор (направление скорости)
= τ + = + , = ,
=